Que $G$ ser un grupo finito y $G'$ el grupo conmutador de $G$.
- ¿Qué puedo decir de $G' \cap Z(G)$?
¿Podría ser tan específico como sea posible acerca de los grupos de p?
Respuestas
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Geoff Robinson
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Hay un conocido teorema (creo que debido a Grün) que afirma que si $P$ es un Sylow $p$-subgrupo de un grupo finito $G,$ $P \cap G^{\prime} \cap Z(G) \leq P^{\prime}.$ Si $G$ sí es una $p$-grupo, entonces no estoy seguro de cuánto puede esperar que decir. En ese caso, si $G$ no es Abelian, a continuación, $G^{\prime} \cap Z(G)$ siempre es no trivial, pero bien puede tener un orden $p.$ Por otro lado, cuando se $p$ es impar, siempre hay un $n$-generador finito $p$grupo $G$ de nilpotent clase $2$ y el exponente $p$ tal que $G^{\prime} = Z(G)$ es elemental Abelian de orden $p^{\frac{n(n-1)}{2}}$ $[G:G^{\prime}] = p^{n}.$
Bien, esta es una cuestión amplia, pero aquí un par al azar de los hechos.
$G'\cap Z(G)\leqslant \Phi(G)$ para todos los grupos de $G$.
Especial $p$-los grupos son un caso interesante de $p$-grupos en que $G'\cap Z(G)= Z(G)=G'$.
Hay también una especie de teorema acerca de $[G:G'\cap Z(G)]^2$ dividir los grados de un grupo irreductible de los personajes, que creo que vi en Huppert, pero no lo recuerdo exactamente declaración en el momento.
