Mi pregunta es simple, creo.
¿Si tomamos dos números naturales aleatorios $a$ y $b$ uniformemente distribuido en un rango específico $[c,d]$, $ab$ uniformemente distribuida también?
¿Qué pasa si $a$ $b$ son los números naturales, pero real números y?
¿Qué pasa si $a$ es un número natural y $b$ un número real?
NOTA: Este análisis sólo considera los números reales positivos $c,d$ e independiente de las variables aleatorias $a,b$ ambos distribuidos de manera uniforme en $[c,d]$.
En este caso, $ab$ NO está uniformemente distribuida en $[c^2,d^2]$. Tenga en cuenta que $(a,b)$ serán distribuidos de manera uniforme en $S=[c,d]\times[c,d]$, mientras que de $ab=k\in[c^2,d^2]$ es una hipérbola que pasa por el punto a$(\sqrt k,\sqrt k)$$S$.
Análisis: La probabilidad de $ab<k$ $k<cd$ será definido por la ecuación $$ \begin{align} A\cdot P(ab<k)&=\int_c^{k/c}\left(\frac{k}{x}-c\right)\ dx\\ &=k\ln(k/c^2)-c(k/c-c)\\ &=k\ln(k/c^2)-k+c^2 \end{align} $$ donde $A=(d-c)^2$ es el área de la región $S$ y la integral anterior calcula el área que se encuentra debajo de la hipérbola $yx=k\implies y=\dfrac{k}{x}$ sin embargo, en la región de $S$. Así que el probabilty no dependen linealmente de $k$, lo que significa que la distribución no puede ser uniforme en $[c^2,d^2]$.
Tenga en cuenta que para $k=cd$ la hipérbola que pasa a través de la cornes $(c,d)$ $(d,c)$ de la región. Así, por $k>cd$ más está cortada debido a los límites de la región, por lo $P(ab<k)$ empieza a crecer más lento.
Analizando el caso de $[c,d]=[1,2]$ totalmente conduce a la función de distribución $$ P(ab<k)= \begin{cases} k\ln(k)-k+1&k\in[1,2]\\ k-k\ln(k/4)-3&k\in[2,4] \end{casos} $$ que se ilustra aquí
donde los casos en que $k>cd=2$ están cubiertos por calcular el área de color morado como $$ P(ab>k)=\int_{k/2}^2\left(2-\frac{k}{x}\right)\ dx=k\ln(k/4)-k+4 $$ y, por tanto,$P(ab<k)=1-P(ab>k)=k-k\ln(k/4)-3$.
Si el tratamiento de cada una de ellas como variables aleatorias, entonces el producto es también una variable aleatoria. Para ver esta nota, que si $X_1, \ldots, X_n$ son variables aleatorias, entonces $(X_1, \ldots, X_n)$ es un vector aleatorio en $\Bbb R^n$, por lo tanto applyi,g continua, y por lo tanto medibles función
$$(X_1,\ldots, X_n)\mapsto X_1\ldots X_n$$
Obtenemos el producto de la composición de funciones medibles, por lo tanto medibles. I. e. El producto es también una variable aleatoria.
Tenga en cuenta que la distribución puede muy bien no ser la misma que antes, pero si no se cuenta como una variable aleatoria no es una cuestión del tipo de distribución. De hecho, las otras respuestas cubierta bastante bien que no va a ser uniforme en general, pero la potencia de este enfoque es que no depende de la elección de la probabilidad de medida para el espacio exacto, por lo que no importa si usted está hablando acerca de los productos naturales o los reales o algo completamente distinto, no importa qué camino elegir,definir la "aleatoriedad."
Aquí está un ejemplo sencillo: Supongamos que $X$ y $Y$ son independiente y distribuidos idénticamente variables al azar uniforme $[0,1]$. Que $Z = XY$. Claramente, debemos $0 \le Z \le 1$. Por lo tanto, si $Z$ eran también uniforme, tendríamos por ejemplo $\Pr[Z > 1/2] = 1/2$. $XY \le X$ Y $XY \le Y$, por lo tanto, sólo si de $XY > 1/2$ $X > 1/2$ y $Y > 1/2$; i.e., $$\Pr[XY > 1/2] < \Pr[(X > 1/2) \cap (Y > 1/2)] = (1/2)^2 = 1/4.$$
No. Dicen que usted está eligiendo entre 1 y 4. Si usted toma cada resultado posible se obtiene:
1*1 = 1
1*2 = 2;
1*3 = 3;
1*4 = 4;
2*2 = 4;
2*3 = 6;
2*4 = 8;
3*3 = 9;
3*4 = 12;
El resultado 4 es más probable aparecerán que cualquier otro número y si la entrada es realmente aleatoria como aumento de tamaño de muestra sea uniforme.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
