Una integral problemática en el cálculo de la entropía de entrelazamiento en teoría de campo bosónica masiva libre 1+1 D

Question

Me encontré con una curiosa identidad de integración cuando leía el artículo de Pasquale Calabrese y John Cardy sobre la entropía de entrelazamiento de la teoría cuántica de campos 1+1D ( arXiv ). La identidad se indica a continuación:

$$ \int^\infty_0 x I_{\alpha}(x)K_{\alpha}(x) dx \,\, ``=" \frac{\alpha}{2}. $$

Aquí $I_\alpha(x)$ y $K_{\alpha}(x)$ son las funciones de Bessel modificadas del primer y segundo tipo. La identidad anterior se utiliza implícitamente en las ecuaciones 4.19 y 4.22 de dicho documento. Sin embargo, la identidad anterior me parece falsa ya que el lado izquierdo es aparentemente divergente. Recordemos que tenemos la siguiente expansión asintótica:

$$ I_\alpha (x) \sim \frac{e^{x}}{\sqrt{2\pi x}};\\ K_\alpha (x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{2 x}}e^{-x}, $$

de lo que se obtiene

$$ xI_\alpha(x)K_\alpha(x) \sim \frac{1}{2}. $$

Creo que se ha hecho algún tipo de regularización en la integral o simplemente se me escapa algo. Espero que alguien de aquí me pueda ayudar a entender esta identidad.

EDIT: Creo que lo siguiente puede ser una pista útil.

La integral anterior surge de la expresión de $\int^\infty_0 rG(r,r)dr$ donde $r$ es la coordenada radial y $G$ es la función de Green habitual (véase la Ec.4.18). Consideremos ahora $\int^\infty_0 G((1+\epsilon)r,r)rdr$ motivada por la expansión a corta distancia. La integral correspondiente es:

$$ \int^\infty_0 x I_{\alpha}((1+\epsilon)x)K_{\alpha}(x) dx = \frac{(1+\epsilon)^{-\alpha}} {(1+\epsilon)^2-1} = \frac{1}{2\epsilon}-\frac{1}{2}(\alpha+\frac{1}{2})+O(\epsilon). $$

La identidad anterior puede encontrarse en la tabla de Gradshteyn & Ryzhik, 7ª edición, entradas (6.521.2), (6.521.8) y (6.521.9).

Ahora tomamos el límite $\epsilon\to 0$ . El primer término de lo anterior es divergente, lo que podría interpretarse como la parte de divergencia UV habitual. El segundo término, sin embargo, es finito. Si de alguna manera podemos argumentar que tiene sentido eliminar el primer término y tomar el $\alpha$ -dependiente como la respuesta "física" de la integral, entonces hemos terminado.

Answer 1

¿Has probado con Mathematica?

He introducido la expresión original

$$\int\limits_0^\infty I_{k/n}(mr)K_{k/n}(mr)rdr$$

en Mathematica y obtuve (suponiendo que $k,\ n\in\mathbb{Z}$ )

 Integrate[BesselI[k/n, m*r]*BesselK[k/n, m*r]*r, {r, 0, \[Infinity]}, 
  Assumptions -> 
   k \[Element] Integers && n \[Element] Integers] // FullSimplify

ConditionalExpression[-(k/(2 m^2 n)), n (k + n) > 0 && Re[m] > 0]

$$\text{ConditionalExpression}\left[-\frac{k}{2 m^2 n},n (k+n)>0\land \Re(m)>0\right]$$

Y con $\alpha=k/n$ se obtiene el resultado correcto (hasta el signo menos, pero eso podría "comérselo" el signo menos que hay delante de la derivada del logaritmo de la función de partición).

En los comentarios encontrará más explicaciones sobre $m$ y $r$ .

Answer 2

Aunque no he sido capaz de dar con una interpretación satisfactoria para la identidad integral por la que pregunté, sí encontré una forma de sortear el problema y derivé el resultado final en dicho artículo. Después de esperar una semana sin recibir ninguna solución definitiva, publico a continuación mi cálculo, ya que no es del todo irrelevante para mi pregunta original y podría ser útil para otros estudiantes.

Defina

$$ I_n = \int^\infty_0 r G(r,r) dr = \sum_{k\ge0} d_k \int^\infty_0 rI_{k/n}(mr) K_{k/n}(mr)dr. $$

Aquí $d_0=1/2$ y $d_k=1$ para $k>1$ . El objetivo es calcular $I_n-nI_1$ .

Como he mencionado antes, la integral anterior sobre el radio $r$ es divergente, sin mencionar la suma divergente sobre $k$ . Aquí consideramos la siguiente suma modificada,

$$ I_n(\epsilon) = \int^\infty_0 r G[(1+\epsilon)r,r] dr = \sum_{k\ge0} d_k \int^\infty_0 rI_{k/n}(mr) K_{k/n}[(1+\epsilon)mr]dr. $$

Mantendremos $\epsilon>0$ y tomar el límite $\epsilon\to 0$ más tarde. La integral sobre $r$ ahora se puede hacer y el resultado es

$$ I_n(\epsilon)=\frac{1}{m^2[(1+\epsilon)^2-1]}\sum_{k\ge0}d_k(1+\epsilon)^{-k/n}=\frac{1}{m^2(2\epsilon+\epsilon^2)}\left(\frac{1}{1-(1+\epsilon)^{-1/n}}-\frac{1}{2}\right), $$

a partir de la cual encontramos

$$ I_n(\epsilon) = \frac{1}{m^2(2\epsilon+\epsilon^2)}\left(\frac{n}{\epsilon}+\frac{n}{2}+\frac{n\epsilon}{12}(\frac{1}{n^2}-1)+O(\epsilon^2)\right). $$

Lo mismo digo,

$$ nI_1(\epsilon) = \frac{1}{m^2(2\epsilon+\epsilon^2)}(\frac{n}{\epsilon}+\frac{n}{2}). $$

Así,

$$ \lim_{\epsilon\to0}[I_n(\epsilon)-nI_1(\epsilon)]= \lim_{\epsilon\to0}\frac{1}{2m^2\epsilon}\times\frac{n\epsilon}{12}(\frac{1}{n^2}-1)=\frac{1}{24m^2}(\frac{1}{n}-n), $$

que es el resultado deseado. En comparación con la derivación original del artículo, la anterior evita por completo la dudosa identidad integral y la fórmula de suma de Euler-Maclaurin.