Evaluación de

Question

Evaluar el límite

\lim_{x\rightarrow \infty}\left(2x-\left(\sqrt[3]{x^3+x^2+1}+\sqrt[3]{x^3-x^2+1}\right)\right) $$ $$

Mi intento:

Para simplificar la notación, que $A = \left(\sqrt[3]{x^3+x^2+1}\right)$ y $B = \left(\sqrt[3]{x^3-x^2+1}\right)$. Ahora

$$\begin{align} 2x^2 &= A^3-B^3\\ x &= \sqrt{\frac{A^3-B^3}{2}} \end {Alinee el} $$

Así se convierte en el límite

$$\lim_{x\rightarrow \infty}\left(\sqrt{\frac{A^3-B^3}{2}}-A-B\right)$$

¿Cómo puedo completar la solución de este punto?

Answer 1

Tenga en cuenta que $\sqrt[3]{x^3+x^2+1}=x\sqrt[3]{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}}$, con una expresión similar para el otro. Hacer la sustitución $t=1/x$. La expresión se convierte en $$\frac{2-\sqrt[3]{1+t+t^3}-\sqrt[3]{1-t+t^3}}{t},$ $ y queremos encontrar el límite de esto como $t$ enfoques $0$de la derecha. Tenga en cuenta que se cumplen las condiciones para el uso de la regla de L'Hospital. Por lo que nuestro límite es $$\lim_{t\to 0^+} -\frac{1}{3}(1+3t^2)(1+t+t^3)^{-2/3}-\frac{1}{3}(-1+3t^2)(1-t+t^3)^{-2/3}.$ $ este es fácil.

Answer 2

Es más fácil de romper en dos límites, $x-\sqrt[3]{x^3+x^2+1}$ y $x-\sqrt[3]{x^3-x^2+1}$ luego nos vamos a ver los primeros límites de $-\frac{1}{3}$ y el segundo $\frac{1}{3}$ por lo que limita la suma a cero.

Nota el resultado más general,

$$x-\sqrt[n]{x^n +ax^{n-1}+\cdots}\rightarrow -\frac{a}{n}$ $ Si escribimos $A=\sqrt[n]{x^n +ax^{n-1}+\cdots}$ luego

$$x-A=\frac{x^n-A^n}{x^{n-1}+x^{n-2}A +\cdots +A^{n-1}}=\frac{-ax^{n-1}+\cdots}{x^{n-1}+x^{n-2}A +\cdots +A^{n-1}}$$

y desde $\frac{A}{x}\rightarrow 1$ el resto es fácil.

Answer 3

Sugerencia

Ya $x$ va al infinito, nos escriba a $$\sqrt[3]{x^3+x^2+1}=x\sqrt[3]{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}$$ and let us define $y=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$. Now, look at the Taylor expansion of $$\sqrt[3]{1+y}=1+\frac{y}{3}-\frac{y^2}{9}+O\left(y^3\right)$$ and replace $y$ by its definition and expand to get finally $$\sqrt[3]{x^3+x^2+1}=x \Big(1+\frac{1}{3 x}-\frac{1}{9 x^2}+...\Big)\simeq x-\frac{1}{9 x}+\frac{1}{3}$$ Similarly, the same method should give $$\sqrt[3]{x^3-x^2+1} \simeq x-\frac{1}{9 x}-\frac{1}{3}$$

Estoy seguro que usted puede tomar desde aquí.

Más intuitivamente, usted podría haber notado que, puesto que va $x$ $\infty$, $$\sqrt[3]{x^3 \pm x^2+1}=x\sqrt[3]{1 \pm\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}$$ behaves just as $x $ and then the limit of the expression is $0 $. However, this approach allows you to show "how" the expression goes to $0$ (por valores positivos o negativos).

Answer 4

$a+b=\dfrac{a^3+b^3}{a^2-ab+b^2}$
Creo que esta identidad puede utilizarse para simplificar la expresión.
Que $a=\sqrt[3]{x^3+x^2+1}$ y $b=\sqrt[3]{x^3-x^2+1}.$
Entonces
$a+b=\dfrac{(x^3+x^2+1)+(x^3-x^2+1)}{(x^3+x^2+1)^{2/3}-(x^3+x^2+1)^{1/3}(x^3+x^2+1)^{1/3}+(x^3+x^2+1)^{2/3}}\\=\dfrac{2(x+1/x^2)}{(1+1/x+1/x^3)^{2/3}-(1+1/x+1/x^3)^{1/3}(1+1/x+1/x^3)^{1/3}+(1+1/x+1/x^3)^{2/3}}$
$x\rightarrow \infty$ Tenemos $a+b\rightarrow 2x.$% #% $ de #% por lo tanto

Answer 5

As $x \to\infty$, $A\to x$ and $B\to x$. Por lo tanto la expresión tienden a $0$.