Ejemplo donde $\int |f(x)| dx$ es infinito y $\int |f(x)|^2 dx$ es finito

Question

Leí en un libro que el % de condición $\int |f(x)|^2 dx <\infty$es menos restrictivo que $\int |f(x)| dx <\infty$. ¿Eso significa que sea finito $\int |f(x)| dx$, $\int |f(x)|^2 dx$ es también finito, derecho?

Mi entendimiento es que $|f(x)|$ puede tener una cola gruesa para compensar el golpe integral, pero $|f(x)|^2$ puede decaer con la suficiente rapidez para tener un integral finito. Alguien me puede dar un ejemplo que $\int |f(x)| dx=\infty$ $\int |f(x)|^2 dx <\infty$. Supongamos que $f(x)$ es una función absolutamente continua y delimitada, $(-\infty, \infty)$.

Answer 1

$$f(x)=\frac1{\sqrt{1+x^2}}{}$$

Answer 2

Usted puede pensar en la serie armónica:

$$\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n}=\infty$$

pero

$$ \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}<\infty$$.

Por lo tanto puede elegir $ de $$f(x) = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \chi_{[n,n+1)}$ $\chi_X$ Dónde está la función característica del conjunto $X$.

Answer 3

Tome por ejemplo $f(x)=1/\lfloor x\rfloor$. Entonces $$\int_1^\infty|f(x)|dx=\sum_{n=1}^\infty \frac1n=\infty$ $ pero $$\int_1^\infty|f(x)|^2dx=\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6}<\infty$ $

Answer 4

Qué tal: $$f(x) = \left\ {\begin{array}{ccc} \frac{1}{|x|} && |x| > 1 \\ 1 && |x| \leq 1 \end{matriz} \right.$$

Answer 5

Que %#% $ #%