Como Resumen de esta serie:
$\frac{1}{9} + \frac{1}{18}+\frac{1}{30}+\frac{1}{45} + \frac{1}{65}......$
No estoy recibiendo ninguna pista, solo una sugerencia será suficiente por favor ayuda. Gracias...
Respuestas
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Mario G
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Observar\begin{align*} \frac{1}{9}+\frac{1}{18}+\frac{1}{30}+\frac{1}{45}+\ldots&=\frac{1}{3+3\cdot2}+\frac{1}{3+3\cdot2+3\cdot3}+\frac{1}{3+3\cdot2+3\cdot3+3\cdot4}+\ldots\\ &=\sum_{k=2}^{\infty}{\frac{1}{3\sum_{j=1}^{k}{j}}}\\ &=\sum_{k=2}^{\infty}{\frac{1}{3\left[\frac{k(k+1)}{2}\right]}}\\ &=\sum_{k=2}^{\infty}{\frac{2}{3\left[k(k+1)\right]}}\\ &=\frac{2}{3}\sum_{k=2}^{\infty}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\\ \end{align*} último uno es una serie telescópica, nota tenemos $$\frac{2}{3}\sum_{k=2}^{\infty}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{3}$ $
Terry Phan
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Esta serie puede ser computada como $$\frac{1}{3}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(\sum_{\ell=0}^k\ell)+2k+3}.$ $ las sumas parciales son $$\frac{1}{3}\sum_{k=0}^{K}\frac{1}{(\sum_{\ell=0}^k\ell)+2k+3}=\frac{K+1}{3(K+3)},$ $ y el límite es de $1/3$. (Verifique la primera pocos valores de $k$ y $K$ para convencerse de que las fórmulas son de hecho correcta y proceder por inducción. Comience con un valor de $k=0$, no $1$. Sugerencia: $\sum_{\ell=0}^k\ell=k(k+1)/2$.)
