¿Es un complejo CW, homeomorfo a un complejo CW regular?

Question

Es un Complejo CW ¿homogéneo a un complejo CW regular?

Regular significa que el adjuntar mapas son homeomorfismos (1-1). En particular, un sistema abierto (resp. cerrado) $n$ -es homeomorfo a una célula abierta (o cerrada) $n$ - de la pelota.

Answer 1

No lo creo. Considere un complejo de CW formado por el pegado de un $2$ -a un círculo, donde el mapa de fijación $\varphi:S^1\to S^1$ tiene un punto con preimagen infinita. Hay muchas maneras de construir tal mapa. Por ejemplo, tomar la curva de relleno del espacio de Peano y proyectar a la primera coordenada. Esto da un mapa de este tipo de $[0,1]$ à $[0,1]$ y puedes unir los extremos para formar un círculo. También hay construcciones más fáciles, pero no tengo tiempo para describirlas bien. Si este espacio es un complejo CW regular, entonces este punto malo en la frontera tiene que ser infinitamente diferente $2$ -lo cual es una contradicción ya que los complejos CW infinitos no son compactos.

Apuesto a que tu afirmación es cierta si sustituyes "homeomórfico" por "homotópico-equivalente". Entonces se pueden eliminar patologías locales como ésta.

EDITAR (30/8/2013): Para que este argumento sea más riguroso, vamos a elegir una función más bonita $\varphi\colon S^1\to S^1$ . Comience con la función continua $x\mapsto x\sin(1/x)$ que envía $[0,1]$ à $[-\sin(1),\sin(1)]$ . Convierte esto en un auto mapa de $[0,1]$ por el mapeo $[-\sin(1),\sin(1)]$ de forma homeomórfica en $[0,1]$ y convertirlo en un mapa $\varphi\colon S^1\to S^1$ uniendo los puntos finales. Tenga en cuenta que $x\mapsto x\sin(1/x)$ tiene la propiedad de que para todo $n$ hay un subintervalo de $(\epsilon_1,\epsilon_2)\subset [0,1]$ donde la línea horizontal $y=\epsilon$ golpea el gráfico en exactamente $2n$ puntos para todos $\epsilon\in(\epsilon_1,\epsilon_2)$ . Ahora, en el complejo CW $K=S^1\cup_{\varphi} D^2$ cada uno de estos subintervalos da un subconjunto abierto del complejo (si se considera la parte de $D^2$ uniendo a lo largo de estas piezas, homeomorfo a $*_{2n}\times (0,1)$ , donde $*_{2n}$ es el gráfico "estrella" abierto con un vértice central, $2n$ vértices periféricos, y una arista que conecta el centro con cada vértice periférico, con los vértices periféricos eliminados. Así que tenemos una arista de centro con $2n$ "aletas" que sobresalen. El borde del núcleo es parte de la $1$ -ya que no es localmente homeomorfo a un subconjunto abierto del plano para $n>2$ . Fijar un punto $p$ en el borde del núcleo que no es un vértice del $1$ -esqueleto, las partes de las aletas cercanas a $p$ deben ser cada uno parte de algún $2$ -célula. Pero, de hecho, todos ellos tendrán que ser diferentes $2$ -ya que el mapa adjunto tendría un punto doble en $p$ de lo contrario. Así que tenemos al menos $2n$ 2 células. Dado que $n$ era arbitrario, tenemos infinitos, lo que es una contradicción de la compacidad.

Answer 2

Algo que se podría emplear para responder a esto es observar que todo complejo CW regular es de hecho triangulable.

Resulta que toda variedad topológica cerrada de dimensión distinta de cuatro es homeomorfa a un complejo CW [Kirby-Siebenmann, On the triangulation of manifolds and the Hauptvermutung]. Por otra parte, Ciprian Manolescu ha demostrado recientemente un importante resultado: que existen variedades no triangulables en cualquier dimensión superior a cuatro (antes de este trabajo, los únicos ejemplos conocidos de variedades no triangulables eran de dimensión cuatro).

Vale, lo anterior emplea una maquinaria extremadamente potente (y moderna), pero la idea tomemos una variedad no triangulable que sea un complejo CW ¡es bastante simple, por lo menos! Y supongo que esto también demuestra que el espacio puede seguir siendo "bonito", en un sentido particular.