La pregunta viene de una declaración en concreto de las matemáticas por Graham, Knuth y Patashnik en Página 465.
$$\sum_{k \geq n} \frac{(\log k)^2}{k^2} = O \left(\frac{(\log n)^2}{n} \right).$$
¿Cómo se calcula esto?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Aquí tienes una muy sencilla solución. La idea es dividir la suma en una parte principal y un término de error, y se generaliza a muchos sumas donde la integral test no funciona debido a que la correspondiente integral es difícil.
En primer lugar recordar que tenemos $\sum_{k \ge n} \frac{1}{k^s} = O \left( \frac{1}{n^{s-1}} \right)$ (por ejemplo por la integral de la prueba, aunque por entero $s$ más elemental forma de ver esto). Dividir la suma como
$$\sum_{k=n}^{n^2} \frac{(\log k)^2}{k^2} + \sum_{k \ge n^2+1} \frac{(\log k)^2}{k^2}.$$
Desde $(\log k)^2$ es, finalmente, delimitada por $k^{\epsilon}$ todos los $\epsilon > 0$, el segundo término es $O \left( \frac{1}{n^{4-2\epsilon}} \right)$ todos los $\epsilon > 0$. Por otro lado, el primer término es en la mayoría de los
$$\sum_{k=n}^{n^2} \frac{(\log n^2)^2}{k^2} \le 4 (\log n)^2 \sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{k^2} = O \left( \frac{(\log n)^2}{n} \right).$$
(Tenga en cuenta que a diferencia de el argumento de el uso de la integral de la prueba, este argumento no optimizar la constante tal y como está. Pero uno puede realmente sustituir a $n^2$ $n^{1+\epsilon}$ cualquier $\epsilon > 0$ y el argumento lleva a través de, y tomando el límite cuando $\epsilon \to 0$ da la constante correcta.)
Para un divertido ejercicio de dividir las sumas de dinero, trate de conseguir una óptima obligado por la suma descrita en este blog.
Gudmundur Orn
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853
Creo que lo más fácil es simplemente encontrar $\displaystyle \int_k ^{\infty} \frac {(\log x)^2}{x^2}dx$. Después de algunos trabajos, resulta ser $\dfrac{\log k(\log k + 2) + 2}{k}$. Oh - pero también estoy un poco seguro que sugerencia de Qiaochu a suma de partes funcionan tan bien (y casi el mismo resultado).
Mingo
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Tenga en cuenta que la función de $f$ definido por $$ f(x) = \frac{{(\log x)^2 }}{{x^2 }} $$ es la disminución de $x > x_0$ (para algunos $x_0 > 0$), y que $$ \frac{{\frac{d}{{dx}}\int_x^\infty {\frac{{(\log t)^2 }}{{t^2 }}dt} }}{{\frac{d}{{dx}}\frac{{(\log x)^2 }}{x}}} = \frac{{ - \frac{{(\log x)^2 }}{{x^2 }}}}{{\frac{{2\log x - (\log x)^2 }}{{x^2 }}}} = \frac{{ - \log x}}{{2 - \log x}} \1 \;\; {\rm como} \;\; x \to \infty , $$ por lo tanto, también $$ \frac{{\int_x^\infty {\frac{{(\log t)^2 }}{{t^2 }}dt} }}{{\frac{{(\log x)^2 }}{x}}} \1 \;\; {\rm como} \;\; x \to \infty. $$
EDITAR (elaboración; lo que sigue también completa mixedmath la respuesta):
Con $f$ como en el anterior, $$ f'(x) = \frac{{2\log x(1 - \log x)}}{{x^3 }}, $$ lo que implica que $f$ es la disminución en el $[e,\infty)$. De ello se deduce que para cualquier $n \geq 3$, $$ \int_n^\infty {f(x)\,dx} \leq \sum\limits_{k = n}^\infty {f(k)} \leq f(n) + \int_n^\infty {f(x)\,dx} . $$ Por lo tanto $$ \frac{{\int_n^\infty {f(x)\,dx} }}{{\frac{{(\log n)^2 }}{n}}} \le \frac{{\sum\nolimits_{k = n}^\infty {f(k)} }}{{\frac{{(\log n)^2 }}{n}}} \le \frac{{f(n)}}{{\frac{{(\log n)^2 }}{n}}} + \frac{{\int_n^\infty {f(x)\,dx} }}{{\frac{{(\log n)^2 }}{n}}}. $$ Así que a partir de $$ \frac{{f(n)}}{{\frac{{(\log n)^2 }}{n}}} = \frac{1}{n} \to 0 $$ y $$ \frac{{\int_n^\infty {\frac{{(\log x)^2 }}{{x^2 }}\,dx} }}{{\frac{{(\log n)^2 }}{n}}} \a 1 $$ como $n \to \infty$, se deduce que $$ \frac{{\sum\nolimits_{k = n}^\infty {f(k)} }}{{\frac{{(\log n)^2 }}{n}}} \a 1. $$
