Los subgrupos característicos $\phi(H) \subseteq H$

Question

Mi libro utiliza esta definición:

Deje $G$ ser un grupo. Un subgrupo $H$ $G$ se llama una característica subgrupo si $\phi(H) \subseteq H$ todos los $\phi \in \operatorname{Aut}(G)$.

Pero después de buscar un poco en google, parece que la definición de una característica subgrupo implica igualdad de $\phi(H) = H$.

¿$\phi(H) \subseteq H$ $\Rightarrow$ $\phi(H) = H$ ???

Traté de multiplicar por $\phi ^{-1}$ conseguir $H \subseteq \phi^{-1}(H)$ pero no estoy seguro de si estoy autorizado para eso y estoy aún más seguro de si $\phi(H) \subseteq H$ y $H\subseteq \phi^{-1}(H)$ $\Rightarrow$ $\phi(H) = H$.

Cualquier matemático de la sabiduría? Gracias.

Answer 1

Para grupos finitos $\phi(H)\subseteq H\Rightarrow \phi(H)=H$ porque $\phi$ es un bijection lo $|\phi(H)|=|H|$ y ningún conjunto finito puede contener adecuadamente un conjunto del mismo tamaño. No es así con los conjuntos infinitos, aunque.

Es posible que $\phi(H)$ a contenido estrictamente en $H$, en el hecho de $\phi$ puede ser un interior automorphism (de modo que $H$ estrictamente contiene uno de sus conjugados). Por ejemplo, supongamos $\psi$ actuar en $\Bbb Q$ $x\mapsto 2x$ y el formulario de la semidrect producto $\Bbb Q\rtimes\langle\psi\rangle$. Deje $H$ ser el subgrupo generado por a $1\in\Bbb Q$. A continuación, $\psi H\psi^{-1}=2H$ es estrictamente contenida en $H$. Google "subgrupo estrictamente contiene conjugado" para obtener más resultados.

Answer 2

Las definiciones son equivalentes.

La respuesta de azul responde a la pregunta de preguntar, pero no responde a la pregunta subyacente de si las dos definiciones son equivalentes. Así que voy a hacerlo aquí.

Así que, no, $\phi(H) \subseteq H$ no implica $\phi(H) = H$. Sin embargo:

Si $\phi(H) \subseteq H$ para todos los $\phi\in\operatorname{Aut}(G)$ $\phi(H)=H$ todos los $\phi\in\operatorname{Aut}(G)$. (Nota: el punto clave es El "para todos".)

Claramente, esto implica que las definiciones son equivalentes. Para ver que la sostiene, tenga en cuenta que los siguientes ambos mantienen para todos los $\phi\in\operatorname{Aut}(G)$.

• $\phi(H)\leq H$

• $\phi^{-1}(H)\leq H$

Sin embargo, el segundo punto puede ser manipulado para darle ese $H\leq\phi(H)$. La combinación de este con el primer punto implica que $\phi(H)=H$ todos los $\phi\in\operatorname{Aut}(G)$, según se requiera.

Answer 3

Bueno, $\phi(H)=H\implies \phi(H)\subseteq H$. Lo contrario es falso en general.