Edit: Gracias, Juan, por la mejora de mi novato formato. Espero que haya una forma audaz de los vectores en el modo matemático; no he encontrado una manera de hacerlo todavía.
Creo que me puede dar una idea mucho más clara (y más corto) explicación de vectores singulares frente a vectores propios.
En primer lugar, os animo a ver un $m \times n)$ valor real de la matriz $A$ como un operador bilineal entre dos espacios; intuitivamente, un espacio que se encuentra a la izquierda ($R^m$) y el otro ($R^n$) a la derecha de $A$. "Bilineal" simplemente significa que $a$ es lineal en ambas direcciones (de izquierda a derecha o de derecha a izquierda). Las operaciones $$ puede realizar se limitan a escala, rotación y reflexión, y combinaciones de estos, o cualquier otro tipo de operación es no-lineal.
$A$ transforma los vectores entre los dos espacios a través de la multiplicación:
$x^T$ A = $y^T$ transforma a la izquierda del vector $$ x a la derecha del vector $y$.
$x = a$ y transforma a la derecha del vector $$ y a la izquierda vector de $x$.
El punto de descomposición de $A$ es identificar, o resaltar aspectos de la acción de $Un$ como un operador. El eigendecomposition de $Un$ aclara lo que $A$ no encontrar los autovalores y autovectores que satisfacen la restricción
$X = \lambda x$.
Esta restricción se identifica vectores (direcciones) que $a$ no gira, y los escalares $\lambda$ asociadas con cada una de las direcciones.
El problema con eigendecomposition es que cuando la izquierda y a la derecha el espacio son espacios diferentes, en realidad no hay un sentido en el que $A$'s de acción puede ser descrito como algo que implica una "rotación", debido a la izquierda y a la derecha espacios son totalmente independientes, no "orientada" el uno con relación al otro. Simplemente no hay manera de generalizar la noción de un eigendecomposition a un no-plaza de la matriz $A$.
Vectores singulares proporcionar una manera diferente para identificar los vectores de la acción de $A$ es simple; uno que hace generalizar al caso en que la izquierda y la derecha, los espacios son diferentes. Correspondiente par de vectores singulares tienen un escalar $\sigma$ que $Un$ escalas por la misma cantidad, si la transformación de la izquierda el espacio a la derecha del espacio o viceversa:
$ x^T = \sigma y^T$
$\sigma x = a y$.
Por lo tanto, eigendecomposition representa $A$ en términos de cómo las escalas de vectores no gire, mientras que la descomposición de valor singular representa $A$ en términos de los correspondientes vectores que se ajusta la escala de la misma, ya sea en movimiento de la izquierda a la derecha espacio o viceversa. Cuando la izquierda y la derecha, el espacio es el mismo (es decir, cuando $A$ es cuadrado), la descomposición de valor singular representa $A$ en términos de cómo se gira y se refleja vectores que $a$ y $A^T$ escala por la misma cantidad.
Mi original de la "respuesta" que se encuentra más abajo, sin embargo, espero que usted estará de acuerdo en que el de arriba es muy superior.
Tal vez sería de gran ayuda para tener una intuitiva (por que me refiero a un geométrica) explicación de lo singular vectores y vectores propios.
Un singular valor $s$ de un cuadrado ($n \times n$) de la matriz $A$ es un escalar distinto de cero para el que no existen vectores unitarios $x$ y $y$ que satisfacen las dos ecuaciones:
$A^T x = \sigma$ y y
$Y = \sigma$x.
$x$ y $y$ son la izquierda y la derecha vectores singulares, respectivamente, de $A$. Una interpretación geométrica de esto es la siguiente. Vamos a $u(t) = t x$ y $v(t) = t y$
ser las ecuaciones paramétricas de definir las líneas en la dirección de los vectores de $x$ y $y$, respectivamente. Entonces
$A^T u(t) = A^T tx = t^T x = t \sigma y = v(\sigma t)$,
$A v(t) = ty = t t t t t = t \sigma x = u(\sigma t)$.
En palabras, el operador bilineal $A$ es el siguiente: $A^T$ mapas de la línea $u(t)$ a de la línea $v(\sigma t)$, donde el cambio en el parámetro ($t$ $\sigma t$) significa "su velocidad a lo largo de la línea $v$ es multiplicado por $\sigma$". Del mismo modo, $Un$ mapas de la línea $v(t)$ a de la línea $u(\sigma t)$.
Los vectores propios de $Un$ tiene una interpretación diferente: dado cualquier vector de $x$,
(1) proyecto de $x$ en la autovectores de $Un$ (es decir, representan $x$ en el conjunto de los vectores de la base que son los vectores propios de A$$).
(2) la escala de cada componente proyectada de $x$ por el correspondiente vector propio; el vector resultante $y = x$ (pero $$ y está representado en el autovector).
(3) "de la onu-proyecto" el vector $$ y volver a la original sistema de coordenadas.
Por lo tanto, los vectores propios definir un nuevo conjunto de vectores de la base que a lo largo de la escala se produce; los vectores singulares definir líneas que $a$ mapas, uno para el otro.
Espero que ese es el tipo de respuesta intuitiva que usted estaba buscando. Sin duda, fue el tipo que me estaba buscando.
