Que $(\mathscr{F}_\alpha)_\alpha$ ser una familia de poleas en $X$ y $\prod_\alpha\mathscr{F}_\alpha$ la gavilla de producto. Si $x\in X$, es cierto $$\left(\prod_\alpha\mathscr{F}_\alpha\right)_x\simeq\prod_\alpha(\mathscr{F}_\alpha)_x \ ?$ $ creo que $(\oplus_\alpha\mathscr{F}_\alpha)_x\simeq\oplus_\alpha(\mathscr{F}_\alpha)_x$ puede ser cierto, pero no la gavilla de producto.
Respuesta
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Estás en lo correcto. Es cierto directa sumas, incluso arbitraria colimits (desde colimits conmuta con colimits, y recordar la descripción de la paja como un colimit; o la representan como un pullback functor al punto), y también para finito de productos, incluso de manera más general para límites finitos (ya que estos conmuta con filtrado colimits en, digamos, algebraicas categorías, en las que las poleas no deben vivir). Pero no es cierto para los productos infinite.
Siempre hay un canónica mapa de $(\prod_{\alpha} F_{\alpha})_x \to \prod_{\alpha} (F_{\alpha})_x$. Pero no tiene que ser inyectiva, incluso para los muy bonito espacios de $X$ y las poleas $F_{\alpha}$. Tome $X=\mathbb{R}$ $F_{\alpha}$ la gavilla de función continua para $\alpha \in \mathbb{N}$, e $x=0$. Deje $f_{\alpha} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser una función continua que se desvanece en $]-1/(\alpha+1),+1/(\alpha+1)[$, pero no se desvanecen en $1/{\alpha}$. A continuación, $(f_{\alpha})_{\alpha}$ representa un elemento en el núcleo de la canónica mapa, lo cual no es trivial.
