Calcular:

Question

Debo calcular el límite siguiente:

$$\lim_{n\to\infty} \int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{1+x \left( \tan x \right)^{n} }dx$$

Estoy buscando algunas soluciones resonable. Cualquier Consejo, sugerencia es muy bienvenida. Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que el integrando está delimitado en $[0,\pi/2]$, así que si $$\lim_{n\to \infty} \frac{1}{1+x\tan^nx}$$ exists a.e. then we may apply the Dominated Convergence Theorem to show $% $ $\lim_{n\to \infty} \int_0^{\pi \over 2}\frac{1}{1+x\tan^nx}dx = \int_0^{\pi \over 2}\lim_{n\to \infty} \frac{1}{1+x\tan^nx}dx.$

Si $x<\pi/4$ luego el integrando converge a 1 y si $x>\pi/4$ entonces converge a 0. Así tenemos que la integral es igual a $$ \int_0^{\pi \over 4} 1dx + \int_{\pi \over 4} ^ {\pi \over 2} 0dx = \frac{\pi}{4}. $$