Probar que si $A$ es diagonalizable, entonces existe una matriz $B$ tal que $B^{2012} = A$

Question

Dado: $$A \in M_{n\times n} (\mathbb C) \; , \; A \; \text{is diagonalizable}$$

Tenemos que demostrar que:

$$ \exists B \in M_{n\times n} (\mathbb C) \; : B^{2012} = A$$

Lo que he dicho hasta ahora:

Si $A$ es diagonalizable, entonces $\exists P$ $D$ tal que $A = P D P^{-1}$ donde $D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 &\cdots& 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{pmatrix}$ , $P = [[v_1], [v_2], \dotsc ,[v_n]]$, $\det(P) \neq 0$ y también se $\lambda_1 , \lambda_2 , \dotsc , \lambda_n$ son todos distintos.

también,

$A^{2012} = P D^{2012} P^{-1}$

Pero donde exactamente ir de allí?

Answer 1

El paso crucial es que si usted tiene una matriz de la forma $ABA^{-1}$ y tomar algo de poder, esto es igual a $(ABA^{-1})^n=AB^nA^{-1}$.

En el caso que usted menciona, usted tiene $A=PDP^{-1}$. Si definimos $\tilde{D}$ a la obtenida a partir de a $D$ mediante la sustitución de todos los $\lambda_i$ $\sqrt[2012]{\lambda_i}$ (donde la elección de la raíz en realidad no importa), esto se traduce en $(P\tilde{D}P^{-1})^{2012} = P\tilde{D}^{2012}P^{-1} = PDP^{-1}=A$ $B=P\tilde{D}P^{-1}$ podría resolver tu pregunta.

Answer 2

Considere la posibilidad de $B = P D_1 P^{-1}$ tal que $$ D_1 = \left ( \begin{array} {cccc} \lambda_1^{\frac 1{2012}} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_2^{\frac 1{2012}} & \cdots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_n^{\frac 1{2012}} \end{array}\right) $$ entonces $$ B^{2012} = PD_1^{2012}P^{-1} = PDP^{-1} $$ donde $$ D = \left ( \begin{array} {cccc} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_n \end{array}\right) $$