Puede una función continua a partir de los reales a los reales asumir cada valor de un número par de veces?

Question

Supongamos que $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es continua. Es posible que $f$ a asumir cada valor en su rango de un número par de veces?

Para aclarar, algunos valores pueden ser tomados los tiempos 0, 2, 4, etc., pero siempre, incluso (y por lo tanto finito). Yo no requieren que existe un valor que es asumido de cualquier número determinado de veces. Por ejemplo, la función puede ser surjective, o nunca tomar cualquier valor exactamente dos veces.

Esta pregunta es posiblemente la misma como Una función continua puede tomar cualquier valor exacto del número de veces?. Que pregunta en su lugar puede haber significado, "Si $n$ es, incluso, es posible que $f$ a asumir cualquier valor dentro de su rango exactamente $$ n de los tiempos?" En cualquier caso, no ha sido contestada.

Answer 1

Sí, esto es posible. Definir $f$ de la siguiente manera. Por $x\leq 0$, $f(x)=-x$. Si $n\in\mathbb{N}$, entonces $$f(n+x)=\begin{casos} n+3x &\text{ si }0\leq x\leq 1/3 \\ n+2-3x &\text{ si }1/3\leq x\leq 2/3 \\ n-2+3x &\text{ si }2/3\leq x\leq 1 \end{casos}$$

Un vistazo a un gráfico muestra que $f$ es continua y alcanza cada valor positivo de cuatro veces, consigue el valor de $0$ dos veces, y nunca es negativo.

Por otro lado, es imposible para cada punto en el rango de $f$ a tienen el mismo número de preimages. Por contradicción, supongamos $$ n es un entero par y $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ logra cada valor en su gama exactamente $$ n veces. Corregir un valor de $a\in f(\mathbb{R})$ y dejar $x_1<x_2<\dots<x_n$ ser el preimages de $a$. Deje que $p$ ser la cantidad de $x_i$, que son los mínimos locales de $f$, $r$ ser la cantidad de $x_i$, que son los máximos locales de $f$ y $q$ ser la cantidad de $x_i$ que no son. Entonces se sigue del teorema del valor intermedio que, si $\epsilon>0$ es lo suficientemente pequeño, $f$ alcanza el valor de $a+\epsilon$ al menos $2p+q$ veces cerca de los $x_i$ y $f$ alcanza el valor de $a-\epsilon$ al menos $2r+q$ veces cerca de los $x_i$. Mus $2p+q\leq n$ y $q+2r\leq$ n. Pero $p+q+r=n$, y así que la adición de estas dos desigualdades juntos nos encontramos con que en realidad $2p+q=n=2r+q$ y por tanto $p=r$. Desde $n$ es par, esto implica $q=n-p-r$ es también incluso.

Es decir, hay un número par de $x_i$ a que $f(x)-$ cambia de signo. Por lo tanto $f(x)-$ tiene el mismo signo en ambos componentes de $\mathbb{R}\setminus [x_1,x_n]$. Supongamos WLOG que $f(x)-$ siempre es positivo en $\mathbb{R}\setminus [x_1,x_n]$. De ello se sigue que $f$ tiene un mínimo global con valor de $b$ el cual se logra en algún lugar de $[x_1,x_n]$.

Pero ahora sustituir a $a$ a $b$ y repetir el argumento anterior. Cada preimagen de $b$ debe ser un mínimo local, por lo que $p=$ n, la cual es claramente imposible. Esta contradicción significa que no $f$ puede existir.