¿Son únicas las combinaciones lineales de potencias de una matriz?

Question

Se puede ver a partir del Teorema de Cayley-Hamilton que para una matriz de $n\times n$, podemos escribir cualquier potencia de la matriz como una combinación lineal de potencias menores y la matriz identidad, es decir, si $A\neq cI_n$, $c\in \Bbb{C}$ es una matriz dada, se puede escribir como una combinación lineal de $I_n,A^{-1},A,A^2,\cdots,A^{n-1}$. ¿Es esta representación única? En caso afirmativo, ¿lo es bajo casos especiales? Como ejemplo, consideremos lo siguiente:

Sea $A\neq cI_n$, $c\in \Bbb{C}$ una matriz de $3\times 3$ sobre $\Bbb{C}$ y $A^3=k_3A^2+k_2A+k_1I_3=m_3A^2+m_2A+m_1I_3$ para $k_i,m_i\in \Bbb{C}$. ¿Se cumple que $k_i=m_i \forall i=1,2,3$?

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Si tomamos un enfoque formalista, supongo que podemos decir que la equivalencia anterior constituye un sistema de $3$ ecuaciones con $6$ variables ($k_i,m_i$).

Es decir, evaluamos las dos combinaciones lineales y mediante la equivalencia de matrices exigimos que todas las entradas sean iguales: $a_{ij}=b_{ij}=c_{ij}$. Pero en general, a menos que la matriz $A$ tenga una forma "especial", eso tendrá infinitas soluciones.

¿Es correcto este enfoque demasiado simplista? ¿Debería intentar encontrar contraejemplos quizás o la pregunta tiene alguna respuesta trivial que paso por alto?

Answer 1

La situación es la siguiente: sea $d$ el grado del polinomio minimal de $A$. Entonces las matrices $\{I,A,A^2,\dots,A^{d-1}\}$ son linealmente independientes y forman una base para el espacio generado por las potencias de $A$.

En particular, esto significa que $A$ tendrá la propiedad de unicidad que describes si y solo si los polinomios minimal y característico coinciden. Es decir, lo siguiente son equivalentes:

1. Las matrices $\{I,A,\dots, A^{n-1}\}$ son linealmente independientes
2. $\Bbb R^n$ es $A$-cíclico
3. $A$ es similar a una matriz compañera
4. $A$ es no-derogatoria
5. El polinomio minimal de $A$ es el mismo que su polinomio característico
6. La forma de Jordan de $A$ tiene un bloque de Jordan por cada autovalor
7. Todas las subespacios propios de $A$ tienen dimensión a lo sumo $1$
8. Una matriz $B$ satisface $AB = BA$ si y solo si existe un polinomio $f(x)$ tal que $B = f(A)$.

Entonces, por ejemplo: cualquier $A$ con $n$ autovalores distintos tendrá esta propiedad, y cualquier $A$ que consista en un único bloque de Jordan tendrá esta propiedad. Cualquier $A$ diagonalizable con un autovalor repetido no tendrá esta propiedad.

Answer 2

Toma $A=2I$ la matriz identidad, $A^3=8I=2A^2$ por lo que los coeficientes no son únicos.

Toma $A$ nilpotente y no nulo $A^3=0$, tienes $A^3=0A^2=0A$.