Idempotentes en un anillo sin unidad (rng) y sin divisores cero.

Question

Pregunta: Dado un anillo sin unidad y sin divisores de cero, ¿es posible que haya idempotentes distintos de cero?

Def: $a$ es idempotente si $a^2 = a$ .

Originalmente el problema era demostrar que $1$ y $0$ son los únicos idempotentes en un anillo con unidad y sin divisores de cero, pero me pregunto qué pasa si eliminamos la condición de unidad.

Estoy tratando de encontrar un anillo con idempotentes no iguales a $0$ o $1$ . Hasta ahora, mi mayor dificultad ha sido encontrar ejemplos de anillos con las propiedades dadas.

¿Alguien tiene alguna pista? ¿Cómo debo atacar este problema?

Answer 1

Propuesta: Si un rng $R$ que no tiene divisores cero no nulos, un idempotente no nulo de $R$ debe ser una identidad para el anillo.

Prueba : Dejemos que $e$ sea un idempotente no nulo. Como $e(er-r)=0=(re-r)e$ para todos $r\in R$ y $e$ es distinto de cero, concluimos que $er-r=0=re-r$ y así $e$ es un elemento de identidad.