Encontrar la dimensión del grupo simpléctico

Question

¿Cómo se encuentra la dimensión del grupo simpléctico $\operatorname{Sp}(2n,\mathbb{R})$ ?

$\operatorname{Sp}(2n,\mathbb{R})\subset \operatorname{Gl}(2n,\mathbb{R})$ es el grupo de matrices invertibles $A$ tal que $\omega = A^T\omega A$ , donde $$\omega = \bigg(\array{0 & \mathit{Id}_n\\ -\mathit{Id}_n & 0}\bigg)$$

He intentado encontrar la dimensión de este grupo dividiendo una matriz $A$ en cuatro bloques, $$A = \bigg(\array{X & Y\\ Z & W}\bigg)$$ y utilizar la propiedad de definición para poner condiciones en los bloques. Encuentro las ecuaciones $X^TZ = Z^TX$ , $Y^TW = W^TY$ y $Y^TZ - W^TX = \mathit{Id}_n$ . Los dos primeros son obviamente independientes, y creo que ponen $2n^2$ restricciones en el grupo, pero ¿cómo debo hacer con el tercero?

Answer 1

Podrías deducir directamente la dimensión a partir de tus propias ecuaciones:

1. $X^T Z = Z^T X \implies X^T Z = (X^T Z)^T$ ,
2. $Y^T W = W^T Y \implies Y^T W = (Y^T W)^T$ ,
3. $Y^T Z -W^T X = \mathbb{I}_n$ .

Las dos primeras son restricciones independientes de la forma $P = P^T$ , por lo que cada uno da $(n^2-n)/2$ limitaciones. La tercera es también una restricción independiente, de la forma $P-Q = \mathbb{I}_n$ , por lo que esto da $n^2$ limitaciones. Esto deja $4n^2 - n^2 - (n^2-n) = 2n^2+n$ grados de libertad.

Para ver explícitamente que las restricciones se desacoplan, a partir de su forma más bien sugerente, definir las matrices complejas $P=X + i Z, Q= Y + i W$ . Entonces las restricciones (1) y (2) son $Im(P^\dagger P ) = 0, Im(Q^\dagger Q) =0$ respectivamente. Sin embargo, la restricción (3) se convierte en $Im(Q^\dagger P) = \mathbb{I}_n$ .

Answer 2

Ayuda a pensar en las columnas de $A$ en lugar de los bloques de $A$ .

Una matriz $A$ en $SP_{2n}(\mathbb{R})$ tiene $2n$ columnas, llámalas $e_1,\ldots,e_n,f_1,\ldots,f_n$ . Queremos $A$ para satisfacer $A^T\omega A = \omega$ , por lo que hay $(2n)^2$ restricciones que podemos anotar (una por entrada de $\omega$ ):

1. $e_i^T\omega e_j = 0$
2. $f_i^T \omega f_j = 0$
3. $e_i^T \omega f_j = \delta_{ij}$ y $f_i^T \omega e_j = -\delta_{ij}$ .

Por alternatividad y antisimetría de la forma $\omega$ Sólo hay $n(n-1)/2$ ecuaciones independientes para cada uno de los números 1 y 2.

Por antisimetría, sólo hay $n^2$ limitaciones independientes en el número 3.

Estos son $2n^2 - n$ total de restricciones independientes en el $(2n)^2$ posible $2n \times 2n$ matrices.

Nos quedamos con $2n^2 + n$ grados de libertad reales, por lo que $SP_{2n}(\mathbb{R})$ tiene dimensión $2n^2 + n$ .

Answer 3

La dimensión del grupo de Lie $G = Sp_{2n}(\mathbb{R})$ es la misma que la de su espacio tangente $\mathfrak{g} = \mathfrak{sp}_{2n}(\mathbb{R})$ en el origen. Linealizando la relación definitoria de $G$ (en su anotación anterior, $g^t \omega g = \omega)$ da $$\mathfrak{g} = \{X\in\mathfrak{sl}_n(\mathbb{R}):\, \omega X = -g^t X\}$$ Escribir $X$ en términos de $n\times n$ bloques como usted describe da $\dim \mathfrak{g}$ .