¿Cuál es el más pequeño no$p$ grupo que no es un semidirect producto?

Question

A pesar de todo no simple grupo puede ser descrito como una extensión al grupo, es bien sabido que no todos los no-simple grupo puede ser expresado como un semidirect producto de grupos más pequeños.

Por ejemplo, un grupo cíclico de orden $p^2$ es una extensión de $\mathbb{Z}_p$$\mathbb{Z}_p$, pero no puede ser escrito como una semidirect producto. El grupo de cuaterniones $Q_8$ no es también una semidirect producto. De hecho, esto parece ser muy común la propiedad de $p$-grupos.

Así que mi pregunta es:

¿Cuál es el más pequeño no simple grupo de $G$ tal forma que:

• $G$ no $p$-grupo, y

• $G$ no puede ser expresado como un semidirect producto de los grupos pequeños?

Answer 1

¿Qué acerca de la $\mathtt{SmallGroup}(48,28)$, que es un grupo que es similar a ${\rm GL}(2,3)$ pero no tiene no los elementos centrales de la orden de $2$? Es uno de los dos Schur que cubren grupos de $2 \cdot S_4$ $S_4$ (la otra es ${\rm GL}(2,3)$).