Creo que puedo completar el cuadrado de cualquier cuadrática, es cierto? (Ninguna razón para utilizar nunca Quad. La leche de fórmula?)

Question

Me enseñó que sólo pudo completar el cuadrado de una ecuación cuadrática si el coeficiente de la $x^2$ plazo es de 1.

Sin embargo, jugar un poco con otros cuadráticas, he encontrado que simplemente no es cierto. Basado en el CTS algoritmo, sólo se necesita dividir el coeficiente de la $x$ plazo por dos veces la raíz cuadrada del coeficiente de la $x^2$ plazo.

Por lo tanto, si usted tiene $ax^2 + bx + c$, su cuadrado perfecto sería de $(\sqrt{a}x + \frac{b}{2 \sqrt{a}})^2$

Si $a$ no es un cuadrado perfecto podría ser mala, pero que sólo puede plaza de la totalidad de la cuadrática e ir de allí.

Por ejemplo:

En la ecuación $5x^2 + 6x + 5 = 0$, podríamos hacer:

$25x^2 + 30x + 25 = 0$

$(5x+3)^2 = -16$

$5x+3 = \pm4i$

$x = \pm \frac{4i}{5} - \frac{3}{5}$

Mis preguntas son:

- ¿Es correcto esto?

- ¿Hay siempre una ventaja para el uso de la fórmula cuadrática?

- ¿Hay cuadráticas que son irresolubles de esta manera?

Answer 1

Cada cuadrática puede tener su plaza completado, que es en realidad donde la fórmula cuadrática.

El método que yo uso es un factor a cabo el coeficiente inicial,

$$ \begin{align} \color{red}{a} x ^2 + bx +c y= \color{red}{a}\left( x^2 + \frac{b}{\color{red}{a}} x \right) + c \\ & = \left( \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} \right) + c \\ & = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 + c-\frac{b^2}{4}, \end{align} $$

si usted resolver para cuando este es igual a cero se obtendrá de la fórmula cuadrática.

Answer 2

La propuesta de manera de completar el cuadrado es correcta. La identidad es: $$ ax^2 + bx + c = \left(\sqrt{a}x + \frac{b}{2 \sqrt{a}}\right)^2 + \left(c-\frac{b^2}{2a}\right). $$

Uno puede, por supuesto, también hacer lo que más se suele hacer y escribir $$ ax^2+bx+c = a\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \left(c-\frac{b^2}{2a}\right). $$ El segundo camino se hace por el bien de la conveniencia, no porque es la única manera posible.

PS: Alguien señala en los comentarios de que esto sólo funciona si $a>0$. Si $a<0$, se puede escribir: $$ ax^2 + bx + c = -\left(\sqrt{|a|}x + \frac{b}{2 \sqrt {||}}\right)^2 + \left(c-\frac{b^2}{2a}\right). $$

Answer 3

Parece que sus preguntas han sido contestadas, por lo que esta respuesta es más de una adición. Completando el cuadrado es una forma útil de reordenamiento en sí mismo - más allá del uso para resolver cuadráticas. Usted puede ser consciente de su aplicación en la colocación de la ecuación de una sección cónica en forma estándar.

Por ejemplo, considere la posibilidad de

$$x^2 + 2x + 2y^2 + y + 3 = 6$$

Esta es una elipse, pero la ecuación no nos dice mucho de la información. Reorganización en su forma estándar revelará un poco de info. La forma estándar de una elipse horizontal está dada como

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$$

donde $(h,k)$ es el centro y $a$ y $b$ representar a la semi y semi-menor ejes respectivamente (la mayor y la menor "radio" de este "círculo excéntrico").

Con el fin de colocar nuestra elipse en su forma estándar, completamos el cuadrado en dos ocasiones:

$$x^2 + 2x + 2y^2 + 4y + 3 = 6$$ $$\left(x^2 + 2x \color{red}{+1}\right) + 2\left(y^2 + 4y \color{red}{+4}\right)+ 3 = 6 \color{red}{+1} \color{red}{+8} $$ $$(x+1)^2+ 2(y+2)^2+ 3 = 15 $$ $$(x+1)^2+ 2(y+2)^2 = 12 $$ $$\frac{(x+1)^2}{12}+ \frac{(y+2)^2}{6} = 1 $$

Ahora vemos que tenemos una elipse centrada en $(h,k) = (-1,-2)$ con el semi-eje mayor $a = \sqrt{12}$ y semi-eje menor de $b=\sqrt6$. Esto coincide con el gráfico.

Answer 4

Si $a$ no es un "cuadrado perfecto", no hay problema. Si la ecuación es $$ ax^2+bx+c=0 $$ entonces es equivalente a $$ 4a^2x^2+4abx+4ac=0 $$ y completando el cuadrado es más evidente: $$ 4a^2x^2+4abx+b^2-b^2+4ac=0 $$ o $$ (2ax+b)^2-b^2-4ac)=0 $$ Si sólo se desea factorizar el polinomio $ax^2+bx+c$ ($a\ne0$, por supuesto, acaba de hacer el mismo: $$ ax^2+bx+c=\frac{1}{4}(4a^2x^2+4abx+4ac)= \frac{1}{4}\bigl((2ax+b)^2-b^2-4ac)\bigr) $$ Si $b^2-4ac<0$ no hay nada más que hacer, porque el polinomio es irreducible sobre los reales; si $b^2-4ac=0$ es $$ \frac{1}{4}(2ax+b)^2 $$ y, si $b^2-4ac>0$ usted obtener $$ ax^2+bx+c=\frac{1}{4}(x+2a-\sqrt{b^2-4ac})(x+2a+\sqrt{b^2-4ac}) $$

Answer 5

En realidad, la fórmula cuadrática se obtiene completando el cuadrado. Sí, cualquier ecuación cuadrática puede ser resuelto por completar el cuadrado. La única razón para usar la fórmula cuadrática es que podría ser más simple que el de completar el cuadrado.