Es esta serie absolutamente convergente (no se ve como un problema fácil)?

Question

Es la serie $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{n} $$ absolutamente convergente? (Tengo la sensación de que lo más probable es que no se debe a que el hecho de que para un determinado $\varepsilon>0$ podemos encontrar infinidad de $n$ tal que $|\cos n|>1-\varepsilon$, el problema es ver cómo denso es el conjunto de estos $n$?)

Answer 1

No. $$ |\cos n|\ge\cos^2n=\frac{1+\cos(2\,n)}{2}. $$ $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(2\,n)}{n}$ converge por Dirichlet en la prueba, mientras que $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ diverge.

Answer 2

$\cos(2n-1)\pi/2 =0$ todos los $n\ge1$

Intervalos establecidos como $[(2n-1)\pi/2-\pi/12, (2n-1)\pi/2+\pi/12]$ por cada $n$.

Entonces |cos$x$|<=|cos$5\pi/12$| para todos los $x$$[(2n-1)\pi/2-\pi/12, (2n-1) \pi/2+\pi/12]$. De lo contrario,$|\cos x|>|\cos5\pi/12|$.

Debido a que la longitud de $[(2n-1) \pi/2-\pi/12, (2n-1)\pi/2+\pi/12]$ es menor que $1$, al menos uno de los dos naturales consecutivos número no está en $[(2n-1)\pi/2-\pi/12, (2n-1)\pi/2+\pi/12]$, de la que el valor de $|\cos|$ es mayor que $|\cos5\pi/12|$.

En consecuencia, el dado de la serie es mayor que la suma infinita de $|\cos\pi/12|/2n$ todos los $n\ge1$ por lo que el dado de la serie diverge.

O usted puede intentar otro método usando $\cos^2 x+\sin^2 x=1$ y demostrando la infinita suma de $cos^{2}n/n$ diverge. Otras fórmulas trigonométricas son también muy útiles.

Answer 3

Sugerencia: usar el poder de la serie para $\cos(n)$