Considere la posibilidad de la QED de Lagrange, \begin{equation} {\cal L} = \bar{\psi} ^{(0)} ( i \partial_\mu \gamma^\mu - m ) \psi ^{(0)} - e A _\mu ^{(0)} \bar{\psi} ^{(0)} \gamma ^\mu \psi ^{(0)} - \frac{1}{4} F ^2 _{ (0) } \end{equation} Si aplicamos el típico renormalization procedimiento, \begin{align} & A _\mu = \frac{1}{ \sqrt{ Z _A } } A _\mu ^{ ( 0 ) } \\ & \psi = \frac{1}{ \sqrt{ Z _\psi } } \psi ^{ (0) } \\ & e = \frac{1}{ Z _e } e ^{(0)} \\ & m = \frac{1}{ Z _m } m ^{(0)} \end{align} Entonces tenemos una masa counterterm, \begin{equation} m ( 1 - Z _m Z _\psi ) \bar{\psi} \psi \end{equation} Hasta aquí, no tengo problemas.
Ahora supongamos que queremos considerar el normaliza de algún operador, $ {\cal O} ( x ) $. Para ser explícitos, permite tomar el operador $ \bar{\psi} \psi (x) $. La manera en que yo sería ingenuo pensar que es lo que nos debe insertar este operador en el Lagrangiano en términos de los campos desnudos y, a continuación, permitir su acoplamiento a obtener normaliza en la misma manera que lo hicimos anteriormente. Así que tendría, \begin{equation} \Delta {\cal L} = g ^{(0)} {\cal O} ^{(0)} ( x ) = g ^{(0)} \bar{\psi} ^{(0)} \psi ^{(0)} \end{equation} entonces podemos decir \begin{align} & g = \frac{1}{ Z _g } g ^{(0)} \end{align} y tenemos un counterterm, \begin{equation} \Delta {\cal L} = g ( 1 - Z _g Z _\psi ) \end{equation} Sin embargo Sabio y Manohar en su libro, Quarks Pesados de la Física, obtener un poco diferente resultado. Consiguen un counterterm de, \begin{equation} \Delta {\cal L} = g \left( 1 - \frac{ Z _\psi }{ Z _g } \right) \end{equation} Lo que está mal acerca de mi comprensión de los compuestos de los operadores?
