Integración del seno cardinal

Question

Se dice que la integral del seno cardinal es $1$ . ¿Cómo se integra el seno cardinal?

$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(a)}{a} \, {\rm d} a $$

Answer 1

Utilice el hecho de que $$\int^\infty_0e^{-xt}dt=\frac{1}{x}$$ Por lo tanto, \begin{align} \int^\infty_{-\infty}\frac{\sin{x}}{x}dx \tag1 &=2\int^\infty_{0}\frac{\sin{x}}{x}dx\\ \tag2 &=2\int^\infty_0\int^\infty_0e^{-xt}\sin{x}dxdt\\ \tag3 &=2\int^\infty_0\frac{1}{1+t^2}dt\\ \tag4 &=\pi \end{align} Explicación:
$1)$ El integrante es incluso
$2)$ Invertir el orden de integración
$3)$ Reconocer la transformada de Laplace de $\sin{x}$ o integrar por partes.
$4)$ $\arctan(\infty)=\frac{\pi}{2}$

Answer 2

Un método común dado:

Porque la función $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ , donde $f: \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb {R}$ es incluso lo que tenemos:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx=2\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx$$

Ahora déjalo:

$$I(t)=\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} e^{-tx} dx$$

Nota:

$$\frac{\partial}{\partial t} \frac{\sin x}{x} e^{-tx}=\frac{\sin x}{x} e^{-tx}(-x)$$

Así que por diferenciación bajo el signo integral tenemos:

$$I'(t)=-\int_{0}^{\infty} e^{-tx} \sin x dx$$

Y a través de la integración por partes dos veces tenemos:

$$I'(t)=-\frac{1}{t^2+1}$$

Por lo tanto,

$$I(t)=\int -\frac{1}{t^2+1} dt$$

$$I(t)=-\arctan (t) +c$$

Pero como $t \to \infty$ , $I(t) \to 0$ por lo tanto:

$$I(t)=\frac{\pi}{2}-\arctan t$$

Dejemos que $t \to 0^+$ :

$$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx=\frac{\pi}{2}$$

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx=\pi$$

Answer 3

Si está utilizando la versión normalizada de $\mathrm{sinc}$ función, el área será $1$ aunque si no, es $\pi$ . Las pruebas se pueden encontrar aquí y aquí . Observa que el segundo enlace sigue respondiendo a tu pregunta aunque el integrando sea al cuadrado.

Por favor, considere buscar en Google su pregunta antes de preguntar :)

Answer 4

Con respecto a la (gran) respuesta de SuperAbound, 9 de agosto '14: Creo que es más fácil resolver la integral (2) usando la identidad de Euler y $\alpha = ia-t$ en lugar de "integración por partes". $$\int^\infty_0e^{-xt}\sin{ax}\ dx =\int^\infty_0e^{-xt}\cdot\frac{e^{iax}-e^{-iax}}{2}\ dx =\int^\infty_0 e^{\alpha x}-e^{\alpha^* x}\ dx$$