¿Por qué no $\log(-1)=i\pi$?

Question

La lectura http://people.math.gatech.edu/~caín/winter99/ch3.pdf, $\log(z)$ se define como $=\ln|z|+i\arg(z)$. Buscando en la Wessel plano, no es $\arg(-1)=\pi$ (más generalmente,$\pi \pm 2 \pi n$)? Y $e^0=1$, por lo que seguramente $\ln|-1|=0$$\log(-1)=0+i(\pi \pm 2 \pi n)$?

Mi problema es que al parecer, $\log(z)$ no está definida para $z=x+i0, x<0$, y, sin embargo, no hay ninguna buena razón por la que no debería ser, al menos en el caso de $z=-1$.

Answer 1

Pidiendo lo $\log(-1)$ es algo como preguntar qué es lo $\arcsin(1/2)$ es. Para satisfacer $sin(x)=1/2$, se puede elegir $x = \pi/6$, $5\pi/6$, $13\pi/6$, etc.

Asimismo, hay una infinidad de respuestas $z$ en el plano complejo que satisfacer $e^z = -1$. Es decir, que son múltiplos impares de $\pi i$.

Answer 2

$\log{(-1)}$ hace igual $i\pi$, por las razones que usted describe.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=log%28-1%29

Pero todo depende del universo en el que usted está tomando el logaritmo. Si usted decide trabajar sólo en los reales, a continuación, $\log{(-1)}$ no estaría definido. Pero es perfectamente válido para el trabajo en los complejos, también.