Valor de $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$

Question

Mi problema es de Israel Gelfand la Trigonometría libro de texto.

Página 48. Ejercicio 8: b) Si $\tan\alpha=r$, escribir una expresión en términos de $r$ que representa el valor de $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$.

El intento de solución:

Bueno he resuelto a) que es similar, la pregunta era: a) Si $\tan\alpha=2/5$, hallar el valor numérico de $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$. La solución fue esta, ya que $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{2}{5}$,$\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=5^2-2^2=21$. b) la parte es la versión más general de una) supongo, pero me parece que no puede encontrar la identidad que me permita resolverlo. Agradecería algunos consejos, gracias de antemano.

Answer 1

Dos Sugerencias:

$$\cos^2 x = \frac{\cos^2x}{1}=\frac{\cos^2x}{\sin^2 x+\cos^2 x}=\frac{1}{\tan^2 x+1}$$ Y: $$\cos^2 x - \sin^2 x=\cos^2 x-\sin^2 x +(\cos^2x +\sin^2x)-1=2\cos^2x-1$$

Answer 2

$$\cos^2⁡x-\sin^2x=\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos^2x+\sin^2x}=\frac{1-\tan^2x}{1+\tan^2x}.$$

Answer 3

Tenemos: $$\sin \alpha=\pm\frac{\tan \alpha}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}}\!$$ y $$\cos \alpha=\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}}\!$$ entonces $$\sin^2 \alpha=\frac{\tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}=\frac{r^2}{1 + r^2}\!$$ y $$\cos^2 \alpha=\frac{1}{1 + \tan^2 \alpha}\!=\frac{1}{1 + r^2}$$

Answer 4

($\sin\theta$/$\cos\theta$)=r
o,($\cos\theta$/$\sin\theta$)=1/r
o,($\cos^2\theta$ )/($\sin^2\theta$)=1/$r^2$[squaringbothsides]
o,($\cos^2\theta$+$\sin^2\theta$)/($\cos^2\theta$-$\sin^2\theta$)=(1 + $r^2$)/(1 - $r^2$)[ApplyingComponendoandDividendo]
o,1/($\cos^2\theta$- $\sin^2\theta$)=(1 + $r^2$)/(1 - $r^2$ )
o,($\cos^2\theta$- $\sin^2\theta$)=(1 - $r^2$)/(1 + $r^2$)