Siempre se extraña a muchos en la expresión binaria de $10^{10^{n}}$?

Question

Actualización: Pendiente de verificación independiente, la respuesta a la pregunta del título es "no", de acuerdo a un cálculo de $p(10) = 11609679812$ (que es incluso).

Deje que $p(n)$ ser el número de unos en la expresión binaria de $10^{10^{n}}$ (que es el mismo que para el de $5^{10^{n}}$, por supuesto), por entero positivo de $n$. Los nueve primeros $q(n)$ valores - la mayoría de los que me puede calcular - son todos los impares: $11, 105, 1163, 11683, 115979, 1161413, 11606847, 116093517, 1160951533$. Se trata simplemente de un capricho (incluso con los valores que muestra finalmente a) o $p(n)$ impar para todo entero positivo de $n$? Equivalentemente, dejando $t(0),t(1),t(2)...$ ser el Thue-Morse secuencia, es de $t(10^{10^{n}}) = 1$ para todo entero positivo de $n$?

Puede que no sea de extrañar que alrededor de la mitad de los dígitos binarios de $5^{10^{n}}$, es decir, $q(n) \sim \displaystyle\frac{1}{2} \log_2(5^{10^{n}}) \approx \ 1.16096404744 \cdot 10^{n}$ (lo que explica los dígitos a la izquierda de lo suficientemente grande términos), pero, ¿por qué todos los términos que ser impar (si es que realmente lo son)?

Nota: Mi motivación para la contabilización es la expectativa de que una proposición como "$q(10^{10})$ es" proporciona un problema de la clase que Solomon Feferman ("hay absolutamente irresolubles problemas?", p. 16), las llamadas "absolutamente irresolubles desde el punto de vista de la práctica". Obviamente, esta expectativa es malo si se puede demostrar que $p(n)$ es impar para todo entero positivo de $n$. Tengo la fuerte sospecha, sin embargo, que hay infinitamente muchos $q(n)$ valores de cada paridad.

Answer 1

La respuesta a la pregunta del título es "no", según el siguiente cálculo en un Sabio notebook:

%time
for n in [1..10]: print n, (5^10^n).popcount()

 1 11
 2 105
 3 1163
 4 11683
 5 115979
 6 1161413
 7 11606847
 8 116093517
 9 1160951533
10 11609679812

CPU time: 487.60 s,  Wall time: 1935.41 s

EDIT: En la Salvia, el popcount() método que devuelve el número de unos en la representación binaria -- está integrada por objetos de tipo 'Integer' (pero no de tipo 'largo', que había estado obligando a), haciendo innecesaria la importación de gmpy, etc., como se hizo anteriormente.