Hay una idea de "primeless isomorfismo" estudiado en algún lugar en la teoría de grupos finitos?

Question

Lo que quiero decir por "primeless isomorfismo" es, esencialmente, una relación en grupos finitos mediante la identificación de grupos cuya estructura difiere solamente en que los primos de dividir los grupos de órdenes. Los grupos no son exactamente isomorfos, pero que están cerca de ella; estoy teniendo problemas para formular la idea de rigor, así que yo creo que puede ser mejor para explicar lo que quiero decir a través de ejemplos.

En el caso más simple, tomar cíclico grupos $C_{p}$ $C_q$ para distintos números primos $p$$q$. Obviamente estos no son isomorfos, pero que sería "primeless isomorfo" como la única diferencia en la estructura del grupo es lo que los números primos en realidad son. Por el contrario, $C_{p}$ $C_n$ no sería considerado primeless isomorfo compuestas $n$, debido a $C_n$ ha apropiado de subgrupos no triviales y $C_p$ no - una diferencia estructural independiente de que los números primos se dividen $n$.

Para otro ejemplo, podríamos buscar en la clase de Frobenius grupos $C_pC_q$ donde $C_q$ actos de punto fijo libremente en $C_p$ (de nuevo, con distintos números primos $p,q$). Hay limitaciones a lo que estos números primos pueden estar en ese $q$ brecha $p-1$ para el grupo de existir, pero entre aquellos grupos que hacer, parece que no son cualitativamente diferentes. Grupos de orden $p^3$ han sido clasificados exactamente de la manera que quiero decir; lo mismo va para el Diedro grupos $D_{2n}$ de squarefree orden, el cual se dividió en diferentes "primeless isomorfismo clases", según el número de primos divisores.

El conjunto de todos los grupos con el fin de $p^3$ para algunos prime $p$ se divide en siete de equivalencia de clases: $[C_{p^3}],[C_{p^2}\times C_p],[(C_p)^3],[Q_8],[D_8],[\text{Heis}\,Z_p],$ $[G_p]$ (donde en los últimos dos clases de $p$ es impar).

Es difícil decir exactamente lo que quiero decir, pero espero que usted me entiende.

• Se ha estudiado? Hay un nombre para eso?

• Si no, es porque de alguna manera es, lógicamente, es muy difícil (o imposible) para definir?

Si nadie ha oído hablar de esto,

• ¿Alguien puede pensar en una buena manera de formular una definición para los dos grupos "primeless isomorfo?" La definición debe dar lugar a una relación de equivalencia sobre el conjunto de los grupos que las particiones en las clases que son sólo "cuantitativamente" diferentes, pero no "cualitativamente" en la manera en la que he estado recibiendo en.

Answer 1

He aquí un caso especial que parece admitir una respuesta razonable. Para comenzar con dos de sus ejemplos, la cíclica grupos $C_p$ son las especializaciones de los aditivos esquema de grupo $\mathbb{G}_a$ a lo finito campos de $\mathbb{F}_p$, mientras que la de Heisenberg grupos son la especialización de los Heisenberg esquema de grupo $\text{Heis}$ a lo finito campos de $\mathbb{F}_p$. Para los efectos de esta respuesta, por grupo de "esquema" me refiero a un functor

$$G : \text{CRing} \to \text{Grp}$$

a partir de la categoría de anillos conmutativos a la categoría de grupos. (La definición actual adicionales a los supuestos técnicos que no son relevantes para esta respuesta.) El aditivo esquema de grupo es el functor que asigna un conmutativa los anillos de su subyacente abelian grupo, mientras que el grupo de Heisenberg esquema es el functor que asigna a un anillo conmutativo $R$ el grupo de las matrices de la forma

$$\left[ \begin{array}{ccc} 1 & R & R \\\ 0 & 1 & R \\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right].$$

Así que una manera de decir que una familia de grupos finitos está relacionado pesar de que no son isomorfos, es decir que son especializaciones de la misma esquema de grupo a lo finito campos. Varias familias de finito de grupos de Lie tipo tienen esta propiedad, tales como los grupos de $\text{GL}_n(\mathbb{F}_p)$.

Answer 2

En 1940 Philip Hall introducido isoclinism, una relación de equivalencia en los grupos de isomorfismo (ser isomorfo implica isoclinic, pero no viceversa). El concepto de isoclinism se introdujo para clasificar a los p-grupos, aunque el concepto es aplicable a todos los grupos. Isoclinism puede ser extendido a isologism, que es similar a isoclinism, pero entonces w.r.t. una variedad de grupos. Existe una amplia literatura sobre isoclinism y isologism.