Demostrar que $5$ es la única prime $p$ tal que $3p + 1$ es un cuadrado perfecto.
Empecé con la hipótesis de que $p$ es impar (desde $2$ claramente no satisface). Esto significaría que $3p + 1$ es incluso. Ya que si un cuadrado perfecto es aún, tiene que ser divisible por cuatro, significaría que $4|3p + 1$.
Si $p \equiv 1\space (mod \space 4)$, $3p + 1 \equiv 0\space (mod \space 4)$. Todos los otros posibles residuos de $p \space (mod \space 4)$ no funcionan. Esto implica que la prueba puede ser reducida a la búsqueda de todos los $m$ tal que $3(4m + 1) + 1 = (2n)^2$ o $3m + 1 = n^2$, que se parece mucho a nuestra primera expresión, excepto, en este caso $m$ no tiene que ser una de las primeras.
Sólo queda probado que la única $m$ tal que $4m + 1$ es un primer e $3m + 1$ es un cuadrado perfecto es $1$. No sé a dónde ir desde aquí.
