La mecánica cuántica define un estado de un sistema como una superposición de 'clásico' de los estados con coeficientes complejos, por lo tanto la reducción de muchos de los problemas de álgebra lineal. Puede estadística clásica se acercó para de esa manera? Es este enfoque es útil?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sí. Se puede definir un(n algebra dual a) probabilidad no conmutativa espacio, como un complejo de $^{\ast}$-álgebra $A$ junto con un lineal positiva $^{\ast}$-funcional $\mathbb{E} : A \to \mathbb{C}$ (las expectativas). El quantum ejemplos ocurrir cuando $A$ es adecuado $^{\ast}$-álgebra de operadores lineales en un espacio de Hilbert y los ejemplos clásicos se producen al $A$ es adecuado $^{\ast}$-algebra de funciones integrables en una medida de espacio $X$.
Todavía estoy pensando acerca de los méritos de este enfoque para el clásico de la probabilidad, pero creo que es más adecuado para la fabricación de ciertos tipos de más algebraicas argumentos (por ejemplo, es perfectamente apropiado para la reflexión sobre la convergencia en el sentido de momentos). Terence Tao notas sobre el libre probabilidad de contener alguna buena motivación para que este punto de vista.
Permítanme darles un ejemplo. Supongamos que yo quiero elegir al azar una clase conjugacy en un compacto Hausdorff grupo $G$. Clásicamente se tendría que construir medida de Haar en $G$ a ello. En la configuración algebraica, de Peter-Weyl el lapso de los personajes de finito-dimensional unitario de representaciones irreducibles de $G$ es denso en el espacio de funciones de clase, y la integral de cualquier carácter con el $G$ está determinada únicamente por la representación de la teoría de las preocupaciones, así que sólo me importa acerca de la integración de funciones de clase en $G$ que sé cómo expresar en términos de personajes, que puedo hacer teoría de la representación en lugar de la construcción de la medida de Haar!
De esta manera el problema de, por ejemplo, calcular los momentos de las diversas variables aleatorias (por ejemplo, la traza en algunos representación irreducible $V$) reduce el problema de la descomposición del tensor de productos de las representaciones de la $G$. Para una información más específica de ejemplo, véase mi respuesta a este MO pregunta.
Esta observación se ocupa de una cuestión interesante, que es la razón por la categoría de $\text{Rep}(G)$ de, por ejemplo, finito-dimensional unitario de representaciones de $G$ se comporta como un categorified producto interior el espacio, con la $\text{Hom}_G(V, W)$ categorifying el interior del producto y así sucesivamente. La respuesta es que lo que en realidad se comporta como un categorified (algebra dual a) probabilidad no conmutativa espacio, a saber, la medida de Haar en las clases conjugacy de $G$ (más o menos categorifies el álgebra de funciones de clase), y cualquier cosa es un semi-espacio con producto interior semi-producto interior dado por
$$\langle a, b \rangle = \mathbb{E}(a^{\ast} b).$$
Aquí la expectativa $\mathbb{E}$ es categorified tomando subespacios invariantes $\text{Inv}$, y tenemos $\text{Hom}_G(V, W) \cong \text{Inv}(V^{\ast} \otimes W)$ natural.
Permítanme darles un tal vez más accesible ejemplo. Supongamos que tengo una variable aleatoria $X$ y quiero hablar de una de forma independiente idénticamente distribuidas secuencia $X_1, X_2, ...$ de variables aleatorias todos de los cuales son distribuidos como $X$. Clásicamente se tendría que construir una medida adecuada del espacio en el que todos los de la $X_i$ son funciones. Algebraicamente es suficiente para empezar con un álgebra $A$ igual que el anterior en que $X$ se sienta y considerar el "tensor de producto"
$$A_1 \otimes A_2 \otimes ...$$
de countably muchas copias de $A$. Vale la pena subrayar que esto no está de acuerdo con el producto tensor de los espacios vectoriales; sus elementos son combinaciones lineales de finito de tensor de productos de $a_{i_1} \otimes ... \otimes a_{i_n}$ donde$a_{i_j} \in A_{i_j}$$i_1 < i_2 < ... < i_j$. La expectativa se define multiplicatively en la pura tensores (de modo que las variables provenientes de diferentes $A_i$ son independientes como se desee). De hecho, esta estrategia funciona con ninguna modificación para una arbitraria de la colección de yo.yo.d. variables, mientras que clásicamente mi impresión es que hay algunos problemas técnicos con la definición de un producto arbitrario de la medida de los espacios (aunque puedo estar equivocado aquí).
