Contigüidad espacio es un pushout

Question

Me gustaría mostrar que el diagrama

$$\begin{array}{} A & \stackrel{f}{\longrightarrow} & Y \\ i \downarrow & & \downarrow {\phi_2} \\ X & \stackrel{\phi_1}{\longrightarrow} & X \coprod_f Y \end{array}$$

donde $i:A \to X$ es una inclusión es un pushout.

Aquí $A$ es un subconjunto cerrado de $X$, todos los mapas dado son continuos y $X \coprod_f Y$ es distinto de la unión de $X \coprod Y$ cociente por la equivalencia generada por $\{(a,f(a)) \in (X \coprod Y) \times (X \coprod Y): a \in A\}$ (llame a la equivalencia de la relación de $\sim$)

Así que voy a empezar con $\nu: X \coprod Y \to X \coprod_f Y$ (el natural mapa) y definir $\phi_1 = \nu | X$, e $\phi_2 = \nu | Y$.

A continuación, para $a \in A$, $\phi_1(i(a)) = \nu(i(a)) = \nu(f(a)) = \phi_2(f(a))$ y el diagrama es conmutativo.

La otra parte es para mostrar que esto es único. Así que vamos a $Q$ ser de otro espacio que no existe $\alpha_1:X \to Q$, $\alpha_2:Y \to Q$. Buscamos un $u: X \coprod_f Y \to Q$

Definir la función de $\Theta:X\coprod_f Y \to Q$$\Theta | X = \alpha_1$$\Theta | Y = \alpha_2$.

A continuación, para $a \in A$, $\Theta(i(a)) = \alpha_1(i(a)) = \alpha_2(f(a)) = \Theta(f(a))$.

Así que esto significa que $\Theta$ elementos de mapas de la equivalencia de la clase $\sim$ $X \coprod_f Y \to Q$ (tal vez yo no estoy diciendo que el último bit claramente, pero creo que está claro lo que quiero decir!)

Es esto razonable? Solo me pregunto porque todo este conmutativo el diagrama cosa es muy nuevo para mí...

Answer 1

Sí, eso es correcto. En la generación del sistema de $\sim$ tenemos que $(a,0) \sim (f(a), 1)$ (donde la inconexión de la unión me denotar con $0$ como la segunda coordenada para los elementos de $X$ $1$ para los elementos de $Y$) y estos producen el mismo resultado: mapa de $u$ $\alpha_1(a) = \alpha_1(i(a))$bajo el requisito de que $u$ deben de viajar con $\alpha_1$ o a $\alpha_2(f(a))$ bajo el requisito de que $u$ deben de viajar con $\alpha_2$, si tomamos la segunda forma. Pero por la conmutatividad del diagrama $i$,$f$,$\alpha_1$ y $\alpha_2$, estos 2 dar el mismo valor en $Q$.

Así, en la generación de establecer tenemos ningún conflicto en la definición de $u$, por lo que ahora usted debe demostrar que $u$ está bien definido en todas las clases (que puede ser de más de 2 puntos, por supuesto). Usted podría utilizar ese $x \sim y$ fib hay un número finito de pasos a través de la generación de pares (o su inversa, por supuesto) de$x$$y$.

La unicidad es clara, como he dicho, de tener que conmutar con $\alpha_1$ y $\alpha_2$ $u$ tiene que ser definida de la siguiente forma; sólo queda comprobar que es en realidad bien definida.

[editar] Akhil del comentario en los comentarios de arriba méritos mencionar también, como se me olvidó: definimos $u$ sobre el distinto de la suma originalmente, mostró hemos tenido ningún conflicto con la equivalencia de la relación de $\sim$, por lo que tenemos una bien definida mapa del cociente. Como el mapa de la suma es continua (es iff tanto "sumandos" $\alpha_1$$\alpha_2$) el estándar teorema en espacios cociente (a veces llamado el universal teorema para el cociente de mapas) implica que $u$ es de hecho continua a partir del cociente de a $Q$.