Encontrar el límite de la función con más de una variable: $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$

Question

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

Se aproxima (0,0) a lo largo de x o a lo largo de y tanto el resultado en el límite aproxima a 0, por lo que desea asegurarse de que el límite existe, haciendo más pruebas.

Mi manual de soluciones de usos $x = y^2$ (o $y = x^2$). Por qué? ¿Por qué no $y=x$ o $x=y$? ¿Por qué una parábola?

Answer 1

Ninguna de esas opciones es suficiente para demostrar que el límite es de $0$, así que no sé cuál es la solución escritor quiso decir. Ningún número finito de maneras de acercarse a $(0,0)$ puede ser suficiente para demostrar que el límite existe. Por otro lado, en caso de que el límite no existe en un punto, una manera de mostrar que en algunos casos es mostrar que la función de los enfoques diferentes límites que se aproxima al punto a lo largo de dos diferentes curvas.

En este caso, $(|x|-|y|)^2\geq 0$ implica $|xy|\leq\frac{1}{2}(x^2+y^2)$, por lo que $$\left|\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|\leq\frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}.$$ This makes it easy to see that the limit is $0$.