Estoy trabajando a través de algunos análisis de libros de texto por mi cuenta, así que no quiero la respuesta completa. Sólo estoy buscando una sugerencia sobre este problema.
En Rosenlicht la Introducción para el Análisis, se muestra, en pocos pasos, que si $\lim\limits_{n\to \infty} a_n = a$$\lim\limits_{n\to \infty} b_n = b$,$\lim\limits_{n\to \infty} (a_n b_n) = a b$. Aunque soy capaz de seguir las partes de la prueba, hay un nexo estoy teniendo problemas para entender. Sus pasos (hasta me quedo pegado) son:
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Comience con el hecho de que todas las secuencias convergentes están acotados a obtener un número de $M > 0$ tal que $|a_n| < M$$|b_n| < M$.
Mi trabajo: Esto es decir que las secuencias de puntos de $\{a_n\}$ $\{b_n\}$ están contenidas en la bola abierta con centro en 0 y radio de $M$.
Entiendo que este, porque si yo elija cualquiera de los $\epsilon > 0$, el hecho de que la secuencia de $\{a_n\}$ converge a $a$ significa que $\exists N \in \mathbb{Z}^+$ tal que $|a - a_n|< \epsilon$ siempre $n > N$. A continuación, $\{a_n\}$ está contenido en la bola cerrada de radio $r_a = \max\{\epsilon, |a - a_1|, |a - a_2|, \dots, |a - a_N|\}$ centrada en $a$. Lo mismo es cierto para $\{b_n\}$$b$, lo que me da un poco de $r_b$ cualquier $\epsilon > 0$.
Entonces, puedo coger $r = \max\{d(0, a)+r_a, \ d(0, b)+r_b\} = \max\{|a|+r_a, \ |b|+r_b\}$, por lo que todos los puntos en $\{a_n\}$ $\{b_n\}$ la bola cerrada con centro en 0 y radio de $r \geq 0$. Luego puedo elegir algún número real $M > r$, lo que completa este paso de la prueba.
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Desde una bola cerrada es un conjunto cerrado, el teorema anterior implica $|a|, |b| \leq M$.
Mi trabajo: Este es el paso que no entiendo. El anterior teorema establece que si $S$ es un subconjunto de un espacio métrico $E$, $S$ es cerrado si, y sólo si, cada vez que $p_1, p_2, \dots, $ es una secuencia de puntos de $S$ que es convergente a$p$$E$,$\lim\limits_{n\to \infty} p_n = p \in S$.
Creo que esta es la forma en este paso de la siguiente manera, pero no estoy seguro. Desde los puntos en $\{a_n\}$ están contenidas en la cerrada de la bola de $B_a$ centrada en 0 con el radio de $r^*_a = d(0, a)+r_a = |a| + r_a$, y dado que la proposición anterior demostró que una bola cerrada es un conjunto cerrado, tenemos $a \in B_a$ por el teorema anterior.
Desde $a$ está en la bola cerrada con centro en 0 y radio de $r^*_a$, y en la construcción, $M > r^*_a$, sabemos que $a$ también está en la bola cerrada con centro en 0 y radio de $M$, lo $|a| \leq M$. Lo mismo es cierto para $|b|$.
Es mi lógica correcta?
