Hay un enunciado matemático que es el que une entero límites a los límites reales?

Question

Vi una pregunta para el límite

$$\lim_{n \to \infty}\frac{\tan(n)}{n}.$$

Al principio pensé que el límite asumido $n$ a ser un número real. Así que me dio el consejo para el uso de $\pi/2+2\pi k$ $2\pi k$ como dos secuencias con diferentes límites. El límite real para $x\to \infty$, en el que $x \in \mathbb{R}$, es mucho más fácil de manejar que el límite de $n \to \infty$, en el que $n \in \mathbb{N}$.

Aquí está mi pregunta:

Hay un teorema matemático que es el de vincular el entero límite $$\lim_{n\to \infty}f(n)$$ to the real limit $$\lim_{x\to\infty}f(x)?$$

Es la equidistribución teorema de tales en un enunciado matemático?

Answer 1

La equidistribución teorema es una herramienta útil para demostrar que algunos de los límites más $\mathbb{N}$ (no) existe o algunas series (no) convergentes, pero en general $\lim_{n\to +\infty}f(n)$ puede existir incluso si $\lim_{x\to +\infty}f(x)$ no: simplemente tome $f(x)=\sin(\pi x)$. Por otro lado, es trivial que $\lim_{x\to +\infty}f(x)=C$ implica $\lim_{x\to +\infty}f(n)=C$. En nuestro caso $\lim_{x\to +\infty}f(x)$ no existe y ni no $\lim_{n\to +\infty} f(n)$, pero que es difícil. Tomar un convergentes $\frac{p_k}{q_k}$ de la continuación de la fracción de $\frac{\pi}{2}$ $q_k$ ser impar: tenemos $$ \left| \frac{p_k}{q_k}-\frac{\pi}{2} \right|\leq \frac{1}{q_k^2}, $$ por lo tanto $|\sin(p_k)|$ es de menos de $\frac{1}{q_k}$ aparte de $1$ $\cos(p_k)$ es menor que el $\frac{1}{q_k}$ aparte de cero, por lo tanto, si $q_k$ es lo suficientemente grande tenemos $\left|\frac{\tan(p_k)}{p_k}\right|\geq\frac{1}{2}$, lo $\limsup_{n\to +\infty}|f(n)|\geq\frac{1}{2}$. Con la misma técnica también podemos encontrar una larga demostrando $\liminf_{n\to +\infty} |f(n)|\leq \frac{1}{3}$, por lo que el límite no existe.

Answer 2

Si una función $f$ es continua, entonces para cualquier secuencia $x_n\to x_0$, $$\lim_{x_n\to x_0} f(x_n)=f(x_0),$$ and in particular if $x_0=\infty$, $$\lim_{n\to\infty}f(n)=\lim_{x\to\infty}f(x)$$ for real $x$ and natural $n$. However this is not the case since $\bronceado$ is not continuous, and in fact it does not even make sense to say $$\lim_{x\to\infty}\frac{\tan x}{x}$$ porque esto sólo es definida si todas las secuencias convergentes hacia el infinito dar el mismo límite.

Así que, en resumen, sí, usted tiene que utilizar números naturales, que hacen que la pregunta más difícil, pero también más interesante.

De hecho, estoy empezando a pensar que el límite no existe en este caso, dado que la expansión decimal de $\pi/2$ ha arbitrariamente largas secuencias de ceros (no sé si esto es aún conocido?), y por lo $\tan n$ se hace arbitrariamente grande. Pero puedo estar equivocado.

EDIT: lo siento, me di cuenta de que Jack D'Aurizio respondió que muy bien.