La prueba de hipótesis con un inusual hipótesis alternativa ($H_1:\mu = \mu_1$)

Question

Normalmente estoy muy familiarizado con la manera de hacer las pruebas de hipótesis, pero nunca he visto una hipótesis alternativa donde $\mu$ es igual a un valor determinado. ¿Cómo proceder en esta situación? Este es un ejemplo que me encontré:

"Suponiendo normalidad con la varianza $σ^2 = 9$, la prueba de la hipótesis nula $\mu = 60.0$ contra la hipótesis alternativa $\mu = 57.0$ utilizando un tamaño de muestra de $20$ $\bar x = 58.05$ y la elección de $\alpha = 0.05$."

Answer 1

Es estándar para buscar en el punto null vs punto alternativa cuando la primera presentación de la Neyman Pearson lema, así que si usted ha visto que usted probablemente ha visto esta sencilla alternativa en caso de que ya se ha realizado.

Muy poco es diferente de la simple-null-simple-alternativa en caso de que el simple nulo caso, usted está en una situación en la que los (60 y 57) son los dos únicos valores posibles para $\mu$.

Claramente inusualmente pequeños valores de $\bar{X}$ le llevaría a considerar la posibilidad de $H_0$ a ser insostenible, pero los valores grandes (más de 60), no conduciría a la conclusión de que la media es $57$ en lugar de $60$, por lo que sólo rechazar a un lado.

Así que todo lo que queda por hacer es dar un estadístico de prueba cuya distribución bajo la hipótesis nula puede ser calculado, con el fin de determinar un rechazo a la región para que la estadística que corresponde a los valores pequeños que están siendo adoptadas por $\bar{X}$.

Ya sabes un estadístico de prueba que tendrá una distribución conocida en $H_0$ (... y si uso el lema de Neyman-Pearson, se puede argumentar que será el más potente de la prueba en esta circunstancia).

Answer 2

Yo no soy tan experto en estadísticas como algunas personas aquí, así que por favor tengan paciencia conmigo; pero me gustaría lanzar en mis dos centavos. Como yo entiendo el problema de ejemplo se cita, es básicamente si la media de la muestra de 57 es más probable, o tiene un menor (más significativo estadísticamente) p-valor, que a una media de muestra de 60 años, si la media real es 58.05. Por lo que su H0 es que mu=60 y H1 es que mu=57. O, "es de 57 verdaderamente inferior a 60, dado el tamaño de la muestra (20), la verdadera media (58.05) y el nivel alfa (.05) declaró?" y en lo que p-nivel. Así que (de nuevo, como yo lo entiendo) que pondría a prueba la hipótesis de la forma habitual y el uso de un solo lado el valor p para la prueba de si 57 o inferior es significativamente diferente de la de los 60, dados los parámetros anteriores. (mi intuición me dice que no es diferente de la de los 60, ya que el 60 está más lejos de la media de 58.05 de 57 y la distribución es normal, es decir, simétrica, y ambos están dentro de una desviación estándar (3) de la media).

Su pregunta, no obstante, parece estar preguntando ¿cuál es la probabilidad de que su H1 mu de ser exactamente igual a 57; ¿es correcto? A la respuesta que puede requerir un enfoque diferente, tal vez una función de densidad de probabilidad.