El tetraedro dentro de una esfera

Question

¿Cuál es el tetraedro regular más grande (que tiene una longitud lateral $x$ ) puede caber dentro de una esfera con un radio de unidad?

Answer 1

Está claro que buscamos el tetraedro regular inscrito en una esfera de radio 1 (es decir, con todos sus vértices situados en la esfera). El truco de los tetraedros regulares es inscribirlos en un cubo.

Wikipedia tiene una imagen de los dos tetraedros regulares que se pueden encontrar en un cubo: http://en.wikipedia.org/wiki/File:CubeAndStel.gif

El cubo inscrito en una esfera unitaria tiene longitud de lado $\frac{2}{\sqrt 3}$ por lo que el tetraedro regular tiene una longitud lateral $x = \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt 3} = \sqrt{\frac{8}{3}}$ .

He aquí otro ejemplo de esta idea: Altura de un tetraedro

Answer 2

Se observa el tetraedro regular inscrito en una esfera de radio 1. Denota el centro de la esfera por O, y los vértices por A, B, C y D.

Dato: En el tetraedro regular, la altitud desde A es cortada por O en proporción 3:1 (Nota: En un triángulo equilátero la proporción análoga es 2:1).

Prueba: Los cuatro vectores de O a los vértices suman cero (el vector suma es invariante bajo rotaciones que preservan el tetraedro, por lo que debe ser cero). Elegimos un vértice A. Las proyecciones de los otros tres vectores OB, OC y OD sobre la recta OA son todas iguales y, como su suma debe cancelar a OA, cada una de estas proyecciones es igual a 1/3 de OA.

Denotemos la base de la altitud por H. Entonces acabamos de demostrar que OH=1/3, AH=4/3. Ahora por el teorema de Pitágoras, $HB^2=BO^2-OH^2=1^2-(1/3)^2=8/9$ . Finalmente, por Pitágoras de nuevo, $AB^2=AH^2+HB^2=(4/3)^2+8/9=24/9$ Así que $AB=\sqrt(8/3)$ .

Answer 3

Obsérvese que el radio $R$ de la circunsfera (es decir, la superficie esférica que pasa por los cuatro vértices) de un tetraedro regular, con una longitud de arista $x$ se da como $$R=\frac{x}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}$$
(Nota: aquí es la derivación del circunradio $R$ )

Ahora, sustituyendo el radio de la esfera $R=1$ en la expresión anterior, obtenemos $$1=\frac{x}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}$$ $$\color{blue}{x=2\sqrt{\frac{2}{3}}\approx 1.632993162}$$