Demostrar que $\mathbb{R}^k$ es separable

Question

Me gustaría demostrar que $\mathbb{R}^k$ es separable. (Un espacio métrico se llama separable si contiene un subconjunto denso contable).

Esto es lo que tengo y me gustaría confirmarlo con todos para ver si hay algo más que deba añadir. ¡Gracias de antemano!

Prueba:

El espacio métrico $\mathbb{R}^k$ contiene claramente $\mathbb{Q}^k$ como subconjunto. Sabemos que $\mathbb{Q}^k$ es contable a partir del teorema 2.13 (Rudin, Principles of Mathematical Analysis 3rd Edition, Pg. 29).

Para demostrar que $\mathbb{Q}^k$ es denso en $\mathbb{R}^k$ necesitamos demostrar que cada punto de $\mathbb{R}^k$ es un punto límite de $\mathbb{Q}^k$ .

Dejemos que $a=(a_1,a_2,...,a_k)$ sea un punto arbitrario en $\mathbb{R}^k$ y que $N_r(a)$ sea una vecindad arbitraria de $a$ . Sea $b=(b_1,b_2,...,b_k)$ donde $b_i$ se elige un número racional tal que $a_i<b_i<a_i+\frac{r}{\sqrt{k}}$ (esto es posible gracias al teorema 1.20(b)) (Rudin, pág. 9). El punto $b$ está claramente en $\mathbb{Q}^k$ y

$d(a,b) = \sqrt{(a_i-b_i)^2 + ... + (a_k-b_k)^2} < \sqrt{\frac{r^2}{k} + ... + \frac{r^2}{k}} = \sqrt{\frac{kr^2}{k}} = r$

Esto demuestra que cada punto de $\mathbb{R}^k$ es un punto límite de $\mathbb{Q}^k$ lo que completa la prueba de que $\mathbb{R}^k$ es separable.

Q.E.D.

Answer 1

Eso es todo. Podemos escribir $\mathbb{Q}^k=\{(x_1,...,x_k)\}$ y esto es contable porque el producto cartesiano de conjuntos contables es contable ( $\mathbb{Q}$ es contable). Al construir su vecindad arbitraria, observe que podemos hacer lo siguiente: Sea $y\in\mathbb{R}^k$ y $\epsilon>0$ . Establecer un número racional $x_i$ tal que $y_i - \epsilon < x_i < y_i + \epsilon$ con $x=(x_1,...,x_k)$ . Entonces tenemos \begin{equation*} d(x,y)<\sqrt{\sum^{k}_{i=1}\epsilon^2}=\sqrt{k}\epsilon\to 0, \end{equation*} lo que completa la prueba.