En cada conecta dominio, existe una holomorphic función con ningún continuación analítica.

Question

Estoy trabajando en una pregunta que me obliga a demostrar que en cada conecta simplemente a abrir subconjunto de $\mathbb{C}$, existe un holomorphic función que no puede ser extendida a una holomorphic función de una mayor conectados conjunto abierto.

Sé un ejemplo de este tipo de holomorphic función en la unidad de disco: $$f:z\mapsto\sum_{n=1}^\infty z^{n!}.$$ traté de combinar esto con el mapeo de Riemann teorema.

Deje $\Omega$ ser simplemente conectado abrir subconjunto de $\mathbb{C}$ y uno puede suponer que $\Omega$ no es todo el plano complejo. Por el mapeo de Riemann teorema, existe una conformación de equivalencia $$\phi:\Omega\rightarrow D$$where $D$ is the open unit disc. Then my guess is that $f\circ\phi$ has no analytic continuation, but then I had to link the boundaries of $\Omega$ and of $D$ and I don't know what is going on between $\partial\Omega$ and $\partial D$.

Alguien podría ofrecer alguna idea? Muchas gracias!

Answer 1

No creo que esto tiene mucho que ver con la conectividad simple. Deje $U\subset \mathbb {C}$ ser cualquier conjunto abierto con los no-vacío límite. Reclamo: No existe $f\in H(U)$ tal que

$$\sup_{D(a,r)\cap U} |f|=\infty$$

para cada $a \in \partial U$ $r>0.$ $f$ no se puede ser extendido analíticamente a cualquier mayor conjunto abierto que contiene a un punto en $\partial U.$

Prueba: Supongamos $\{a_1,a_2, \dots \}$ ser una contables subconjunto denso de $\partial U.$ La idea es definir

$$f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_n}{z-a_n}$$

para la adecuada constantes positivas $c_n.$

Para ello, elegimos pares distintos countably conjuntos infinitos $E_1, E_2,\dots \subset U$ tal que para cada una de las $n,$ el único punto límite de $E_n$ $\mathbb {C}$ $a_n.$ (Por cada $n,$ $E_n$ es sólo una secuencia de puntos distintos en $U$ cuyo límite es$a_n.$, Se puede elegir el $E_n$'s de forma inductiva.)

Ahora hay compacto conjuntos de $K_1,K_2, \dots \subset U$ tal que

$$K_1\subset \text {int}(K_2)\subset K_2 \subset \text {int}(K_3) \subset \dots$$

tal que $U= \cup K_n.$ Elija $c_1$ tal que $c_1/|z-a_1| < 1/2$ $K_1.$ Si $c_1,\dots c_n$ han sido elegidos, elegimos $c_{n+1}$ tal que

$$\frac{c_{n+1}}{|z-a_{n+1}|} < \frac{1}{2^{n+1}},\ \ z\in K_{n+1}\cup E_1 \cup \cdots E_n.$$

A continuación, la serie de $\sum c_n/(z-a_n)$ converge uniformemente en cada una de las $K_n,$ por lo tanto define un holomorphic función de $f$ $U.$ Deje $a\in \partial U, r > 0.$ $D(a,r)$ contiene algunos $a_n,$ por lo tanto, contiene la cola de la final de la $E_n.$ $z\to a_n$ dentro $E_n,$ hemos

$$|f(z)| \ge \left|\sum_{k=1}^{n}\frac{c_n}{z-a_k}\right| - \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}\to \infty.$$

Esto completa la prueba.

Answer 2

SUGERENCIA:

La función de $\sum_{n\ge 0}z ^{n!}$ puede ser visto de la onu-prorrogable por una razón intrínseca: existe una secuencia $(a_n)$ de los puntos en el disco tal que $|f(a_n)| \to \infty$, y cada subconjunto abierto del disco que no es relativamente compacto contiene un punto de $a_n$ ( lo que en realidad infinitamente muchos).

Trate de encontrar una secuencia $(a_n)$.

$\bf{Added}$ Si $0 < z < 1$$z = r e^{2\pi \frac{k}{N}}$, para todos los $n \ge N$ tenemos $z^{n!} = |z|^{n!}$. Si corrige el argumento de $2 \pi\frac{k}{N}$, pero aumentan el valor absoluto hacia la $1$ usted ver que $|f(z)| \to \infty$. Sólo elige $N$ puntos con argumentos $0$, $2\pi \frac{1}{N}$, $\ldots $ , $2 \pi \frac{N-1}{N}$. tales que decir $f(\cdot)$ es en valor absoluto $> N$.