Pizarra de operación $x,y,z\rightarrow x,y,1/(zx+zy)$

Question

Los tres números de $2,3,6$ están escritas en la pizarra. En cada movimiento, podemos escoger cualquiera de los dos números, decir $x,y$, y reemplazar el tercer número$z$$1/(zx+zy)$. El uso de un número finito de operaciones, es posible obtener los tres números de $2,3,4$?

En el primer movimiento, podemos obtener $2,3,1/30$, y si arreglamos $2,3$ nuevo, volvemos $2,3,6$. Para probar que es imposible llegar a $2,3,4$, tendríamos que definir la función potencial. Pero no está claro en qué.

[Fuente: la competencia rusa problema]

Answer 1

La invariancia es motivado por $ \frac{ x+y} { z ( x + y) } = \frac{ 1}{z} $.

Esto sugiere que queremos $ xz, yz, \frac{1}{z}$ como en términos de la invariancia. Por supuesto, debe ser cíclico, por lo que el potencial de la invariancia tiene la forma

$$ A ( xy+yz+zx) + B ( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} ) $$

Sugerencia: La invariancia es

$$ f(x,y,z) = ( xy+yz+zx) + ( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} ) $$

Usted puede verificar esto porque

$$ f( x,y,\frac{1}{ z (x+y) }) = ( xy + \frac{1}{z} ) + ( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + zx+zzy) $$

Ahora, compruebe que $ f(2, 3, 4) \neq f (2,3, 6 ) $.

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