Intersección de Wilson bucles en 2D de Yang-Mills

Question

Actualmente estoy tratando de entender 2D de Yang-Mills teoría, y me parece no puede encontrar una explicación para el cálculo de la expectativa de valor de la intersección de Wilson bucles. En su Cuántica En la Galga de las Teorías en dos dimensiones, Witten lleva a cabo una curiosa cálculo:

Por tres representantes de $ \alpha,\beta,\gamma $, podemos fijar una base del tensor de espacio de los productos pertenecientes a $\alpha \otimes \beta \otimes \gamma$ llamado $\epsilon_\mu(\alpha\beta\gamma)^{ijk}$ ($\mu$ los índices de la $\mu$-th base de vectores, el $i,j,k$ son los índices de la original reps) con la propiedad de que $$ \int \mathrm{d}U {\alpha(U)^i}_i' {\beta(U)^j}_j' {\gamma(U)^k}_k' = \epsilon_\mu(\alpha\beta\gamma)^{ijk}\bar{\epsilon}_\mu(\alpha\beta\gamma)_{i'j'k'}$$

Una cuestión menor es la razón por la que esto es posible - me parecería bien con la aceptación de que siempre se puede encontrar algunos de los vectores que cumplir con esa relación, pero, ¿por qué son una base?

La parte real no entiendo a que viene ahora: Por lo anterior, cada borde de una plaquette lleva a algunos a $\epsilon_\mu$, y en un cruce de dos líneas, tenemos así cuatro de estos procedente de los bordes, y otros cuatro representantes de $\delta^{j}_c$ (j va desde 1 a 4) pertenecientes a las plaquetas a sí mismos. Sin explícitos de la computación, universidad de Witten ahora simplemente dice que después de sumar el $\epsilon$ sobre todos sus índices (como es requerido por la descomposición de una traza de antemano), obtenemos un factor local asociada a este vértice $G(\alpha_i,\delta^{(j)}_c,\epsilon)$, que es el 6j Wigner símbolo (pero él no va a hacer una pausa para mostrar por qué). No puedo encontrar ninguna fuente que significaría que la relación, es decir, mostrar por qué tenemos precisamente la 6j símbolos en este cálculo (a pesar de su conexión con el asociador del producto tensor hace plausible que hacemos). La verdadera pregunta es - la 6j símbolo de lo que asociador es esto, y de cómo se podría ir sobre y demostrar esto?

Yo estaría muy agradecido a cualquiera que pueda explicar esto a mí o me dirija a una referencia donde esto se discute en más detalle.

Answer 1

Considerar el finito dimensionales unitario de representaciones de $\alpha,\beta,\gamma$ del grupo compacto $G$ en los correspondientes espacios vectoriales $V_1,V_2,V_3$. Deje $|i\rangle_j,i=1,\dots,n_j$ ser un orthnormal base de $V_j$ donde $dim V_j=n_j$. Entonces $\{|i\rangle_1\otimes|j\rangle_2\otimes|k\rangle_3\}$ forma una base ortonormales de $V=V_1\otimes V_2 \otimes V_3$. Un elemento $g\in G$ actúa sobre el producto tensor espacio de $V$

$$|i\rangle_1\otimes|j\rangle_2\otimes|k\rangle_3 \to \alpha(g) |i\rangle_1\otimes\beta(g)|j\rangle_2\otimes \gamma(g)|k\rangle_3 \tag 1$$

También podemos encontrar una base ortogonal $e_{\mu},\mu=1,\dots,N$ (donde$N=n_1n_2n_3$) $V$ en relación a la cual todos los elementos $g \in G$ actuar como bloque diagonal de las matrices. Más precisamente, supongo que con respecto a la base $\{e_{\mu}\}$, la acción de un elemento $g\in G$ $V$ se denota como $$e_{\mu}\to \rho (g)e_\mu \tag 2$$ a continuación, $\rho(g)^{\nu}_{\mu}=\langle \nu|\rho(g)|\mu\rangle$ es un bloque diagonal de la matriz, donde las dimensiones de los diferentes bloques$^1$ son independientes de $g$. Vamos

$$|i\rangle_1\otimes|j\rangle_2\otimes|k\rangle_3=\sum_{\mu}\epsilon ^{\mu}_{ijk}e_{\mu}\tag 3$$

Actuando con $g\in G$ a ambos lados de esta ecuación nos da

$$\alpha (g)|i\rangle_1\otimes \beta (g)|j\rangle_2\otimes \gamma(g)|k\rangle_3=\sum_{\mu}\epsilon ^{\mu}_{ijk}\rho (g)e_{\mu} \tag 4$$

Tomando el producto escalar con $|i'\rangle_1\otimes |j'\rangle_2 \otimes |k'\rangle_3$ y el uso de (3) obtenemos

$$\alpha(g)^{i'}_{i}\beta (g)^{j'}_{j}\gamma(g)^{k'}_{k}=\sum _{\mu,\nu} \rho^{\nu}_{\mu}(g)\epsilon^{*\nu}_{i'j'k'}{\epsilon}^{\mu}_{ijk}\tag 5$$

Ahora, de acuerdo a la de Peter-Weyl teorema (parte 2), elementos de la matriz de las representaciones irreducibles de $G$ forman una base ortogonal del espacio de cuadrado integrable funciones en $G$ wrt del producto interior

$$(A,B)=\int_G dg\; A(g)^{*}B(g) \tag 6$$

donde $dg$ es la medida de Haar. Por lo tanto, si integramos ambos lados de (5), el distinto de cero contribución sobre RHS va a venir sólo de la parte de $\rho$ que es suma directa de representaciones identitarias. En otras palabras, vamos a $W\subseteq V$ ser el subespacio de $V$ que $G$ actos trivialmente, y vamos a $\{e_1,\dots e_m\}\subseteq $ $\{e_1,\dots e_m,\dots,e_N\}$ ser la base de la $W$, entonces la integración de (5) da

$$\int_G dg\;\alpha(g)^{i'}_{i}\beta (g)^{j'}_{j}\gamma(g)^{k'}_{k}=\sum _{\mu,\nu =1}^{m} \delta^{\nu}_{\mu}\epsilon^{*\nu}_{i'j'k'}{\epsilon}^{\mu}_{ijk}=\sum _{\mu =1}^{m}\epsilon^{*\mu}_{i'j'k'}{\epsilon}^{\mu}_{ijk} \tag 7$$

donde hemos supuesto que $Vol(G)=\displaystyle\int_G\; dg =1$

Para la segunda parte de tu pregunta, yo recomendaría estos apuntes. La idea básica para el cómputo de Wilson lazo de promedios es el siguiente -

Para una superficie con límite, la función de partición de dos dimensiones de Yang-Mills teoría depende de la holonomy a lo largo de la frontera. Deje que la función de partición de una superficie de género $h$ y un límite se denota como $Z_h(U,ag^2)$ donde $U$ es fijo holonomy a lo largo del límite especificado, $a$ es el área de la superficie y $g$ es el de Yang-Mills constante de acoplamiento. Ahora, considere el más simple situación en la que Wilson lazo $W$ en representación $R_W$ se inserta a lo largo de un contráctiles bucle $C$ sobre una superficie cerrada de género $h$, y el área de $a$. Para calcular el Wilson lazo promedio, primer corte de la superficie a lo largo de $C$, lo que da un disco de $D$ de la superficie (por ejemplo) $b$ y otro de la superficie de $S$$c=a-b$, género $h$ y un límite. Ahora el Wilson lazo promedio está dada por la integración de más de $G$ el producto de i) las funciones de partición de $D$ ii) la función de partición de $S$ y iii) la traza de la Wilson lazo en representación $R_W$ -

$$\langle W\rangle=\frac {1}{Z_h(ag^2)}\int \: dU \:Z_h(U,(a-b)g^2)\chi_{R_W}(U)Z_0(U^{-1},bg^2) \tag 8$$

El caso de una auto-intersección Wilson lazo demasiado no es muy diferente.

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$^1$ El más pequeño de los bloques de forma irreductible representaciones de $G$; Exactamente qué irreductible representaciones muestran dependerá $\alpha,\beta,\gamma$; El mismo irreductible representaciones también puede aparecer más de una vez