Cada elemento de un anillo es una unidad o un nilpotent elemento si el anillo tiene un único primer ideal

Question

Deje $R$ ser un anillo. Demostrar que cada elemento de a $R$ es una unidad o un nilpotent elemento si el anillo de $R$ tiene un único primer ideal.

Me ayudan con algunos consejos.

Answer 1

$F[x]/(x^3)$ se compone de unidades y nilpotent elementos, pero tiene cuatro ideales, esto sugiere que significaba algo más como el único primer ideal.

Esto es cierto para anillos conmutativos. La hipótesis de que nonunits son nilpotent significa que el nilradical es un ideal maximal. Pero teniendo en cuenta que todos los primer ideales contener el nilradical, el nilradical es, precisamente, el primer ideal en el anillo.

Por el contrario, si se asume que el anillo tiene un primer ideal, entonces es evidente que hay sólo un ideal maximal, y todo lo que tiene dentro es un nonunit, por lo tanto nilpotent.

La afirmación es falsa por no conmutativa anillos. $M_2(R)$ tiene exactamente un primer ideal: $\{0\}$. Huelga decir que hay un no-nilpotent no-unidades de este anillo (por ejemplo,$\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}$.)

Podría ser interesante, aunque para el seguimiento y ver si alguno de los nuevos unilateral primer ideal definiciones que hace que este trabajo no conmutativa en los anillos.

Answer 2

http://am-solutions.wikispaces.com/Solutions+para+Capítulo+1

"Vamos a $A$ ser un anillo, $R$ su nilradical. Demostrar que los siguientes son equivalentes:

1) $A$ tiene exactamente un primer ideal;

2) cada elemento de a $A$ es una unidad o nilpotent;

3) $A/R$ es un campo.

Prueba. 1) ⇒ 2). Observar que $R$, que es la intersección del primer ideales, es igual a la dada primer ideal; y que $A$ es un anillo local. Por lo tanto $A−R=A^∗$ y, por definición, $R$ se compone de todos los nilpotent elementos.

2) ⇒ 3). El cociente mapa de $A→A/R$ es surjective. Desde el anillo de homomorphisms mapa de unidades de unidades, $x∈A/R$ es $0$ o una unidad.

3) ⇒ 1). Todo el primer ideales contener $R$, e $R$ es un ideal maximal: por lo tanto, hay un primer ideal. "

Answer 3

Sugerencia para $\Leftarrow$:

Cada anillo con identidad tiene un gran ideal. Deje $P$ ser un primer ideal de $R$. A continuación, contiene todos los nilpotent elementos (por qué?). No contiene una unidad (por qué?), así es, de hecho, el conjunto de nilpotent elementos de $R$ y, por tanto, debido a la condición de que el único primer ideal.