Índices de ramificación y grados de residuo de una extensión de Galois finita

Question

Sea $A$ sea un dvr con campo de fracción $K$ de característica cero. Sea $L/K$ sea una extensión finita de Galois y sea $B$ sea el cierre integral de $A$ en $L$ .

Para un primo $b$ de $B$ , dejemos que $e_b$ sea su índice de ramificación y $f_b$ su grado de residuo.

¿Tenemos que $e_b$ y $f_b$ son independientes de $b$ ?

Estoy pensando en el punto de vista topológico. Cuando tienes una cobertura topológica $X\to X/G$ obtenido por una acción libre de un grupo finito sobre una superficie de Riemann compacta conexa, se tiene que todos los índices de ramificación de los puntos que yacen sobre un punto fijo son iguales.

Answer 1

Sí, básicamente por el teorema de Sun-Ze (también conocido como "teorema del resto chino"), el grupo de Galois es transitivo en los números primos. $b$ sobre un primo dado $a$ de $A$ a partir de la cual se comprueba que estos números son idénticos para todos los tales. (Por supuesto, para que no haya confusión, como el punto/prima $a$ abajo varía, las configuraciones de ramificación y el número de puntos tumbados serán generalmente diferentes. El caso "genérico" tiene toda la ramificación trivial, pero, aun así, el campo de residuos puede variar. Para abeliano coberturas/extensiones, la teoría de campos de clases y la extensión del teorema de Dirichlet sobre los primos en progresiones aritméticas demuestran que se dan todos los comportamientos unramificados posibles, con densidades asintóticas iguales).