Teorema de Rellich-Kondrachov para las trazas

Question

Dejemos que $W^{1,p}(\Omega)$ sea el espacio de Sobolev de las funciones débilmente diferenciables cuyas derivadas débiles son $p$ -integrable, donde $\Omega \subset \mathbb R^n$ es un dominio con límite Lipschitz. Dejemos además que $\gamma$ sea el mapa de trazos.

Busco un teorema que me permita concluir que $\gamma \colon W^{1,p}(\Omega) \to L^q(\partial \Omega)$ es compacto siempre que $q < \frac{(n-1)p}{n-p}$ por lo que, por ejemplo, para cada $q < 4$ cuando $p = 2$ y $n = 3$ .

(Necas, p103) tiene tal teorema en la generalidad necesaria. Sin embargo, la demostración no me parece muy accesible. Otra prueba que conozco (Demengel/Demengel, p167) hace supuestos más fuertes sobre la regularidad de la frontera ( $C^1$ en lugar de $C^{0,1}$ ). Q1 : ¿Se ha demostrado tal teorema en algún otro lugar con la misma generalidad? ¿Qué fuente citaría para dicho resultado?

Pocos libros se molestan en el caso de tales incrustaciones, por lo que puedo decir, la mayoría sólo considera incrustaciones del tipo $W^{k,p}(\Omega) \to L^q(\Omega)$ . Q2 : ¿Es porque la situación que me interesa se trata en el contexto más general de los espacios de Besov (con los que no estoy familiarizado)?

He recogido algunas referencias más de teoremas del tipo Rellich-Kondrachov aquí .

Referencias:

Necas, Jindrich - Métodos directos en la teoría de las ecuaciones elípticas.

Demengel, Françoise; Demengel, Gilbert - Espacios funcionales para la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales elípticas.

Answer 1

Una forma aún más general del resultado puede encontrarse en la sección 7 de este documento El resultado se aplica a los dominios de extensión de Sobolev (que incluyen los dominios de Lipschitz) y la medida en la frontera no es necesariamente la medida de la superficie. Este breve artículo no es autocontenido: parte del trabajo pesado se hace en otras fuentes como Espacios de funciones y teoría de potenciales de Adams y Hedberg (un libro caro, por desgracia). Pero hace un buen trabajo al reunir los resultados, y esbozar dos formas de obtener el teorema de la traza deseado: con y sin espacios de Besov.

Advertencia: si piensas investigar este tema en profundidad, no evitarás (a) los espacios de Besov y (b) las pruebas que no son muy accesibles. Vienen con el territorio.

Observación terminológica: Nunca he visto compactos rastrear teoremas que llevan el nombre de Rellich y Kondrachov. Sus nombres suelen ir unidos a los compactos incrustación teoremas entre espacios de funciones en el mismo dominio.