Aumento de ideal y el abelianization de $G$

Question

En una qual problema recientemente, me encontré con el siguiente hecho:

Si $G$ es un grupo finito, y $\mathfrak{a}$ es el aumento de ideal de la integral anillo de grupo $\mathbb{Z}G$, luego $$\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2 \cong G/G', \qquad \text{as abelian groups.}$$

Entendí que la prueba de la medida en que se fue, pero yo estoy buscando para absorber esta en un nivel más profundo. ¿Qué es esta "realidad" diciendo? De dónde viene este hecho? En lo canónico de recursos "debe" he leído acerca de lo que ya? Es un simple hecho acerca de grupo cohomology en disimular? Hay una relación con la noción de que el espacio de la tangente como $(I/I^2)^*$ para el ideal de las funciones de fuga en un punto?

Answer 1

Sí, esto es un simple hecho acerca de grupo (co)homología en el disfraz.

Recordemos que el abelianization es $H_1(G, \mathbb{Z})$. Esto sugiere que usted debe estar tratando de relacionar el aumento ideal para esta homología grupo a través de una larga secuencia exacta. El aumento ideal $I$ $G$- módulo, por definición encaja dentro de una corta secuencia exacta

$$0 \to I \to \mathbb{Z}G \to \mathbb{Z} \to 0$$

lo que induce a una larga secuencia exacta en el grupo de homología al final de la cual va

$$\dots H_1(G, \mathbb{Z} G) \to H_1(G, \mathbb{Z}) \to H_0(G, I) \to H_0(G, \mathbb{Z}G) \to H_0(G, \mathbb{Z}) \to 0.$$

Por la libertad $H_1(G, \mathbb{Z} G) = 0$. También tenemos $H_0(G, \mathbb{Z}G) \cong \mathbb{Z}$, y en el hecho natural de mapa de a $H_0(G, \mathbb{Z})$ es un isomorfismo. Por exactitud obtenemos

$$H_1(G, \mathbb{Z}) \cong H_0(G, I)$$

y ahora queda comprobar que $H_0(G, I) \cong I/I^2$. De hecho es cierto en general que $H_0(G, M) \cong M/IM$. A lo largo de este argumento, no hay necesidad de suponer que $G$ es finito.

No está claro cómo interpretar esto en términos de la tangente espacios desde $\mathbb{Z}[G]$ es generalmente no conmutativa.