Cual es la correcta? Teoría De Grupos

Question

Por desgracia, me di cuenta de que todos están equivocados.

(A) Contraejemplo: $G=(1)$

(B), (C), (D) Contraejemplo: $G=\{1,-1\}$

Por favor, ayuda! ¿De dónde me salen mal?

Answer 1

Tienes razón, y la pregunta es incorrecta. (Y usted no necesita pedir aquí para estar seguro; su contraejemplos son convincentes).

Si se tratara de su tarea para corregir la pregunta (y por desgracia a los lectores de textos matemáticos a menudo se encuentra en la incómoda posición de tener que corregir errores evidentes en lo que están leyendo, y adivinar la más probable, la supervisión de la autora), entonces usted puede elegir a partir de la hipótesis adicionales "$|G|>1$" (o $G$ es trivial), que hace que (A) es verdadera, o "$2\nmid|G|$" (o $G$ es de orden impar) lo que hace (D) verdadero.

La primera corrección que parece el más probable. No obstante, se requiere (muy elemental) anillo de la teoría, no sólo en teoría de grupos. Si $G$ es un subgrupo finito de el grupo multiplicativo de un campo (o dominio) y $a\in G\setminus\{1\}$ $a\sum_{g\in G} g=\sum_{g\in G}ag=\sum_{g\in G}g$ $(a-1)\sum_{g\in G}g=0$ y desde $a-1\neq0$ ha $\sum_{g\in G}g=0$.

Si en lugar de ello se añade la hipótesis de $|G|$ es impar, entonces $\prod_{g\in G}g=1$. Esto se deduce de la simple teoría de grupo y el hecho de que $G$ es Abelian (sin que el producto tendría ningún sentido). Uno puede par mutuamente inversos de los elementos en el producto, que los pares no contribuir en nada, dejando sólo las involuciones ($g^2=1$) solteros, para $\prod_{g\in G}g$ da el mismo grupo restringido a las involuciones sólo. En un grupo de extraños orden de la identidad es la única involución. (Cuando en lugar de $|G|$ es llevado, incluso, a continuación,$\prod_{g\in G}g=-1$, ya que el $-1$ es el elemento único de la orden de$~2$$G$, e incluso en $\Bbb C^*$.)

Añadido. El argumento dado por (a) con la suposición de $|G|>1$ no hace uso de la conmutatividad de la multiplicación, por lo que sostiene, por ejemplo, para finito de subgrupos de un sesgo de campo (un.k.una. división de anillo), que no tiene que ser cíclica. Sin embargo, se hace uso de la ausencia de divisores de cero, y uno podría preguntarse si esto puede ser evitado. La respuesta es que no, ya que a veces falla en los anillos con divisores de cero: la suma de ambos es invertible elementos en $\Bbb F_2[X]/(X^2)$ $X$ en lugar de $0$.

Answer 2

Sí tienes razón. Así que el problema debe ser modificado que $G$ ser un trivial subgrupo finito, en el que caso de que cualquier elemento de a $g\in G$ tiene la forma $$g=e^{i\theta}$$ donde $\theta$ es racional. Por lo tanto la respuesta es, se suman a 0.