No he plenamente comprobado el complicado codificación de los detalles, pero aquí es una forma de demostrar que (*) es falsa en $L.$
Suponga $V=L.$ Por cada $\alpha\lt\omega_1,$ deje $t_\alpha$ $\lt_L$- menos de la función de mapeo $\omega$ uno-a a $\alpha.$ cualquier $n\lt\omega$ y cualquier $\beta\lt\omega_1,$ deje $A_{n,\beta}=\lbrace \alpha\lt\omega_1 \mid t_\alpha(n)=\beta\rbrace.$ Por Fodor, lema, para cada una de las $n\lt\omega,$ hay algo de $\beta_n\lt\omega_1$ tal que $A_{n,\beta_n}$ es estacionaria. Ahora, $\cap_{n\lt\omega}A_{n,\beta_n}=\lbrace\alpha\lt\omega_1\mid(\forall n\lt\omega)(t_\alpha(n)=\beta_n)\rbrace,$ que tiene más de un elemento, por lo que trivialmente no contiene un cerrado conjunto ilimitado. Por lo tanto, algunas $A_{n,\beta_n}$ no contiene un cerrado conjunto ilimitado.
Pretendemos que cada uno de los $A_{n,\beta}$ $\Pi^1_2.$ Deje $s$ ser un real que los códigos de $\beta.$ real $x,$ los siguientes son equivalentes:
(1) $x$ códigos de un ordinal en $A_{n,\beta};$
(2) para cada contables modelo transitivo $M$ de ZFC que contengan $x$ y $s,$ $M \models t(n)=\beta,$ donde $M \models "\!x$ códigos el ordinal $\alpha, s$ códigos el ordinal $\beta,$ $t$ $\lt_L-$menos en función de mapeo de $\omega$ uno-uno en $\alpha\!".$
(3) para cada una de las $u,$ si $u$ códigos contables fundada modelo de ZFC, y si existen enteros $x', \,s', \,a', \,b',$ $t'$ codificación de los miembros de la (el modelo codificado por) $u$ tal forma que:
$\bullet \;u$ satisface: $x'$ $s'$ son reales codificación de los ordinales $a'$ $b',$ respectivamente,
$\bullet$ por cada $k\lt\omega, \;k\in x\iff u$ satisface $k\in x',$ $k\in s\iff u$ satisface $k\in s',$
y $\bullet \;u$ satisface: $t'$ $\lt_L-$ menos en función de mapeo de $\omega$ uno-uno en $a',$
entonces
$\bullet \;u$ satisface: $t'(n)=b'.$
Todos los cuantificadores aquí son numéricos excepto las que están en el principio, de modo que podemos escribir esto como:
"para cada una de las $u,$ $u$ no está bien fundada o $\ldots",$
que es $\Pi^1_2,$ si no he cometido un error en el análisis de la jerarquía de la computación.
Uno realmente debe reemplazar ZFC aquí por algún subconjunto finito de ZFC que es lo suficientemente grande como para probar todos los hechos acerca de $L$ y el absolutismo que usted necesita; si haces eso, la prueba es formalizable en ZFC.
Añadido posterior: El contraejemplo de arriba en realidad parece ser $\Delta^1_2,$ desde $"\!x\in A_{n,\beta}\!"$ también es equivalente a: "no existe $u$ tal que $u$ códigos contables transitiva modelo y existen enteros $x', \,s',$ etc., de tal manera que todas las viñetas de las declaraciones anteriores".
También, tal vez debería haber señalado que esto resuelve el problema a partir de un conjunto estacionario que no contenga un cerrado conjunto ilimitado es la misma cosa como un conjunto que no contiene ni es disjunta de un club.
Un menor de revisión: $A_{n,\beta}$ debe ser definido como $\lbrace \alpha \lt \omega_1 \mid \alpha \ge \omega$ $t_\alpha(n)=\beta\rbrace,$ desde la forma en que lo configuro, $t_\alpha$ no está definido para $\alpha \lt \omega.$ Esto no cambia nada sustancial en la prueba, aunque.
