$\mathbb{Q}[X,Y]/(Y^2-X^3)$ no es un UFD

Question

Estoy tratando de mostrar que $R = \mathbb{Q}[X,Y]/(Y^2-X^3)$ no es un UFD, pero me atoré.

Para probar esto, yo podría tratar de encontrar a dos "diferentes" factorisations para un elemento, pero no estoy familiarizado con esto, así que traté de usar un lexema y uno de los ejercicios anteriores. Si mi plan de estudios es el adecuado, en cada UFD cuenta $$ x \ \text{is irreducible} \quad \iff \quad x \ \text{is prime}$$ Mi programa también establece que los elementos $\bar{X}, \bar{Y} \in R$ son irreductibles. Así que traté de demostrar que al menos uno de los elementos $\bar{X}, \bar{Y} \in R$ no genera un alojamiento ideal.

Esto significaría que debo encontrar dos polinomios $f,g \in \mathbb{Q}[X,Y]$, de tal manera que $$\exists p \in \mathbb{Q}[X,Y], \quad fg - pX \in (Y^2-X^3)$$ y $$\forall q \in \mathbb{Q}[X,Y], \quad f-qX \notin (Y^2-X^3) \ \wedge \ g-qX \notin(Y^2-X^3)$$ or the same thing but then for $Y$.

Espero que usted me puede decir si este enfoque es correcto, y me dan una pista. Agradecería si usted me dijo que la solución, pero por favor, inicie su respuesta con un toque, claramente separada del resto.

Answer 1

Sólo para funsies, aquí es otro enfoque.

Reclamo: $A:=\mathbb{Q}[X,Y]/(Y^2-X^3)$ no es integralmente cerrado (tiene una singularidad en el origen).

Para ver esto, observe que $\displaystyle\frac{Y}{X}\in\text{Frac}(A)$, pero que $\displaystyle \frac{Y}{X}\notin A$. De hecho, si $\displaystyle \frac{Y}{X}\in A$ entonces existe polinomios $f(X,Y),g(X,Y)\in\mathbb{Q}[X,Y]$ tal que $Y=Xf(X,Y)+g(X,Y)(Y^2-X^3)$. Esto es claramente imposible, aunque. Nota a pesar de que $\displaystyle \frac{Y}{X}$ satisface $T^2-X\in A[X]$. Por lo tanto, $A$ no es integralmente cerrado, por lo que no puede ser un UFD.

Answer 2

Como Jared notas, su enfoque está bien. Usted también considerar directamente la relación $Y^2 - X^3 = 0$, lo que implica que $Y^2 = X^3$. ¿Esto le dará consejos para un elemento que tiene dos distintas factorizations?

Answer 3

Si $\overline{X}$ fue primo, entonces se generaría un primer ideal, pero el cociente de $\dfrac{\mathbb{Q}[X,Y] }{(Y^2-X^3)}$$(\overline{X})$$\mathbb{Q}[Y]/(Y^2)$, que no es una parte integral de dominio desde $Y \cdot Y =0$ en ese anillo.

Answer 4

Su enfoque está bien. Aquí está una sugerencia para ayudarle a encontrar su polinomios $f,g,$$p$.

$$\bar{Y}^2\in(\bar{X})$$