Si $G$ es un grupo finito, $H$ es un subgrupo de $G$ y hay un elemento de $G/H$ de orden $n$ entonces hay un elemento de $G$ de orden $n$

Question

$G$ es un grupo finito, $H$ es un subgrupo normal. Hay un elemento en $G/H$ de orden $n$ . Demostrar que hay un elemento en $G$ de orden $n$ .

Nota: He demostrado que existe un elemento en $G$ , digamos que $b$ , de tal manera que $b^n=e$ . Estoy atascado en probar que $n$ es el elemento más pequeño, es decir $n$ es el orden de $b$ .

Por favor, proporcione una nueva prueba si es posible.

Answer 1

Se puede demostrar la siguiente proposición (véase más adelante):

Si $G$ es un grupo finito y $H$ es un subgrupo normal, entonces $\forall g\in G$ , $o(gH)\mid o(g)$ , donde $o(g)$ denota el orden de $g$ .

Supongamos que $o(g)=l$ , $o(gH)=n.$ Utilizando la proposición anterior

$$n\mid l\Rightarrow \exists r\ , \space l=nr.$$

Ahora dejemos que $b:=g^r$ y supongamos $o(b)=k$ . Tenemos

$$b=g^r\Rightarrow b^n=g^{nr}=g^l=e$$

$$\Rightarrow k\mid n \qquad(*)$$

Por otro lado

$$b^k=e\Rightarrow g^{kr}=e\Rightarrow l\mid rk\Rightarrow rn\mid rk$$

$$\Rightarrow n\mid k \qquad(**)$$

Al considerar $(*)$ y $(**)$ , $k=n$ se concluye.

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Prueba de la proposición :

He aquí una afirmación un poco más general que podría aislar mejor el hecho.

Dejemos que $f:G\rightarrow G^{\prime}$ sea un homomorfismo. Entonces el orden de $f(g)$ divide el orden de $g$ .

En su caso, sólo se habla de la proyección $f:G\rightarrow G/H$ .

Supongamos que $o(g)=n$ y $o(f(g))=m$ Así que $g^n=e$ considerando que $f$ es un homomorfismo se puede concluir:

$$f(g^n)=f(e)=e\Rightarrow (f(g))^n=e \Rightarrow m\mid n.$$

( Recordatorio : $g^k=e$ implica que el orden de $g$ divide $k$ .)

Answer 2

Si $gH$ tiene orden $n$ obtenemos $g^n\in H$ . Sea $t$ sea el orden de $g^n$ . Entonces el orden de $g$ es $nt$ (¿por qué?). En el subgrupo cíclico generado por $g$ existe un elemento de orden $n$ (¿por qué?).

Answer 3

Dejemos que $a\in G/H, |a|=n$ y $c\in G$ es una preimagen de $a$ . Entonces $[\langle c\rangle H:H]=n$ . Desde $\langle c\rangle H/H \cong \langle c\rangle/\langle c\rangle\cap H$ tenemos $|\langle c\rangle| =n|\langle c\rangle\cap H|$ . Por lo tanto, el grupo cíclico $\langle c\rangle$ contiene un elemento de orden $n$ .

Answer 4

O(g)/o(gH).Por lo tanto o(g)/n. es decir, o(g)=nt, para algún número entero positivo t. Ahora, o(g^t)=o(g)/GCD[t,o(g)]=nt/GCD[t,nt]=nt/t=n. Por lo tanto, nuestro elemento requerido en G es g^r.