Encontrar $x$ $y$ donde $20!=\overline{24329020081766xy\dots}$

Question

Encontrar $x$ $y$ donde $20!=\overline{24329020081766xy\dots}$(sin uso de la calculadora.)

Mi intento:la primera vez que encontrar cuántos ceros tiene: $$\left\lfloor {\frac{20}{5}} \right\rfloor=4.$$

Se puede resolver fácilmente si sabemos que después de $y$ hay sólo tres dígitos, entonces podemos saber: $$y=0.$$

A continuación, $\overline {6x}$ es divisible por $4$ lo que nos da: $$x=4\ \ \ \text{ or }x=8.$$

Si queremos comprobar divisiblity papel de $8$ vamos a conseguir que $\overline {66x}$ es divisible por $8$ que le dice a nosotros $x$ sólo puede ser $4$. Así $$x=4.$$

Pero sabemos que el mayor problema es que no sabemos cuántos dígitos después de haber $y$.

O en una mayor cantidad de cuántos dígitos que hay en $20!$.

Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{align}20! & = 2^{18}\cdot 3^8 \cdot 5^4 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \\ & = 2^{18} \cdot 3^8 \cdot 5^4 \cdot 7^2 \cdot (15-4) \cdot (15+4) \cdot (15-2) \cdot (15+2) \\ & = 2^{18} \cdot 3^8 \cdot 5^4 \cdot 7^2 \cdot (15^2 - 4^2) \cdot (15^2 - 2^2) \\ & < 2^{18} \cdot 3^8 \cdot 5^4 \cdot 7^2 \cdot 15^2 \cdot 15^2 \\ & = 2^{18} \cdot 3^{12} \cdot 5^8 \cdot 7^2 \\ & = 2^9 \cdot 9^6 \cdot (2 \cdot 5)^8 \cdot (2 \cdot 7^2) \\ & < 1000 \cdot 10^6 \cdot 10^8 \cdot 100 \\ & = 10^{19}.\end{align}

Por lo tanto, $20!$ tiene más de 19 dígitos.

Desde $20!$ es divisible por $10000$, los últimos cuatro dígitos son cero.

Somos la primera $14$ dígitos de $20!$ (el último dígito dado de ser distinto de cero), y sabemos que los últimos cuatro dígitos son cero. Por lo tanto, $20!$ $18$ o $19$ dígitos. En este punto podemos ver que $y=0$.

Si $20!$ tenía 18 dígitos, entonces sería igual a $243290200817660000$. Sin embargo, este número no es divisible por $9$ (usted puede verificar esto mediante la comprobación de la suma de los dígitos). Por lo tanto, $20!$ tiene exactamente $19$ dígitos. Ahora, con la suma de los dígitos-debe-ser-divisible por 9 prueba de nuevo llegamos a la conclusión de que $x=4$.

Answer 2

Algunos juicioso de emparejamiento de los números de $1$ $20$conduce a la estimación aproximada

$$\begin{align} 20!&=(20\cdot1)(17\cdot3)(19\cdot2)(12\cdot10)(15\cdot4)(18\cdot5)(16\cdot6)(14\cdot7)(13\cdot8)(11\cdot9)\\ &\approx20\cdot50\cdot40\cdot120\cdot60\cdot100\cdot100\cdot100\cdot100\cdot100\\ &\approx1000\cdot5000\cdot60\cdot10^{10}\\ &=10^3\cdot300000\cdot10^{10}\\ &=3\cdot10^{18} \end{align}$$

Algún trabajo extra que probablemente se podrían establecer rigurosos límites superior e inferior

$$2\cdot10^{18}\lt20!\lt3\cdot10^{18}$$

Sabiendo que $20!$ termina con $4$ $0$'s y contando que hay $14$ dígitos antes de la $xy$, podemos ver que $y$ es el primero de la cola $0$'s. Finalmente, sabiendo que $9$ divide $20!$, tenemos

$$(2+4+3)+2+(9+0)+2+(0+0+8+1)+7+6+6+x\equiv5+x\equiv0\mod9$$

implica $x=4$.

Añadido posterior: he Aquí un segundo enfoque, utilizando el hecho de que $20!$ es divisible por tanto $9$$11$.

Tenemos

$$20!\lt20^{10}\cdot10!\lt2^{10}\cdot10^{10}\cdot(4\cdot10^6)=4096\cdot10^{16}\lt5\cdot10^{19}$$

por lo $20!$ tiene más de $20$ dígitos. Desde que termina en $4$ $0$'s, todo a la derecha de la $xy$$0$. El uso de la suma de dígitos de la prueba de divisibilidad por $9$, obtenemos

$$x\equiv4-y\mod9$$

El uso de la alternancia de suma de dígitos de la prueba de divisibilidad por $11$, obtenemos

$$x\equiv4+y\mod 11$$

La restricción $0\le x,y\le9$ hace que sea fácil de comprobar que $x=4, y=0$ es la única solución.

Answer 3

El número de dígitos que se puede encontrar utilizando el logaritmo. Usted puede utilizar un logaritmo de la tabla para encontrar el número de dígitos sin calculadora:

$$\log_{10}(20!)=\sum\limits_{i=1}^{20}\log_{10}(i)\approx 18.38 $$

Por lo tanto, que el número de 19 dígitos!

Answer 4

Usted está casi allí. También es cierto que $20!$ es divisible por $9$, por lo que la suma de los dígitos es divisible por $9$. Que le da $x$