El grupo:
$$ G = \left\langle x, y \; \left | \; x^2 = y^3 = (xy)^7 = 1 \right. \right\rangle $$
es infinito, o eso me han dicho. ¿Cómo podría probar esto? (Para probar la finitud de un grupo presentado finamente, podría hacer una enumeración de cosetas, pero no veo cómo esto ayuda si quiero probar que es infinito.)
$ \langle x,y \; | \; x^2=y^3=1 \rangle \cong \operatorname {PSL}_2( \mathbb Z)$ y este isomorfismo identifica a la G con $ \operatorname {PSL}_2/T^7=1$ (donde $T:z \mapsto z+1$ ). El resultado es el grupo de simetría de los azulejos del plano hiperbólico. A partir de esta descripción se puede ver que G es infinito (por ejemplo, porque hay infinitos triángulos en la baldosa y G actúa sobre ellos de manera transitoria).
Grigory ya ha respondido a su pregunta particular. Sin embargo, quería señalar que su pregunta "¿Cómo probar que un grupo especificado por una presentación es infinito?" no tiene una buena respuesta en general . De hecho, en general la cuestión de si una presentación de grupo define el grupo trivial es indecidible.
Una forma general de hacerlo, (que no está garantizado que funcione, como señala Noé), es exhibir infinitas imágenes homomórficas diferentes del grupo con el que se comienza. En este caso, cualquier grupo generado por un elemento de orden $2$ y un elemento de orden $3$ cuyo producto tiene orden $7$ es una imagen homomórfica del grupo $G$ . Un grupo así es un grupo Hurwitz, y estos están bien estudiados, por ejemplo en la obra de M. Conder y de G. Higman, entre otros. Infinitamente muchos grupos simples finitos son conocidos como grupos Hurwitz, creo.
Otro enfoque, que no puede funcionar en general (véase la respuesta de Noé), pero que seguramente funcionará en este caso, es encontrar una forma normal para cada elemento del grupo, y luego ver si hay muchos finitos o infinitos.
En la práctica, eso significa imaginar una palabra en x e y, y luego aplicar las relaciones en la medida de lo posible para simplificarla, y luego tratar de averiguar (¡y probar!) cuáles son las posibles "palabras irreductibles" diferentes (es decir, palabras que ya no se pueden simplificar).
En su caso, lo primero que se notaría es que x sólo puede aparecer a la primera potencia (ya que cualquier potencia superior puede ser simplificada usando x^2 = 1), mientras que y sólo puede aparecer a las potencias +1 o -1 (por la misma razón). Además, no podemos tener demasiadas expresiones de la forman xy o yx en una fila, debido a la tercera relación.
Uno puede seguir así. Yo no, pero lo que imagino es que uno puede tener expresiones de la forma x y x y^{-1} x y x y^{-1} ... que son arbitrariamente largas, e inequívoco, explicando el orden infinito del grupo.
No debería ser tan difícil para resolver la cuestión desde este punto de vista, sentándose con lápiz y papel y jugando con diferentes palabras para tener una idea de qué tipo de reducciones pueden se lleve a cabo. (En argumentos geométricos como el de Grigory, se utiliza un contexto geométrico, como una acción sobre un embaldosado hiperbólico, como una forma más conceptual de entender las relaciones y distinguir palabras no equivalentes. Pero en este caso estoy seguro de que no será difícil ver todo directamente de la presentación.)
Añadido después de releer la pregunta: lo que estoy sugiriendo es precisamente que aunque la respuesta pueda ser infinita, todavía se puede esperar encontrar una enumeración de cosetas, al menos en un caso como esta con relaciones relativamente simples.
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