Como 40 votos, dijo, no es una industria de este. Se me ocurrió aprender algunos de los resultados de la ponderación de Poincaré tipo de desigualdad para algunos de mis anteriores investigaciones. Hay un famoso libro de A. Kufner: Ponderado de los espacios de Sobolev. Una más reciente tratado sobre este Potencial no Lineal Teoría y Ponderado de los Espacios de Sobolev, favor de referirse a una sección 4.3 para Poincaré tipo de desigualdad en la ponderado espacio de Sobolev.
Yo mismo he aprendido la prueba de este trabajo: Un derecho explícito a la inversa de la divergencia operador que es continua en el ponderado de las normas. La sección 3 de este artículo probó el promedio ponderado de Friedrichs, la' desigualdad para el peso $w = (|x-x_0|^2 + \theta^2)^{1/2}$.
Siguiente es aproximadamente la adaptación de la prueba para cualquier positivo de peso suave $w>0$, $\int_{\Omega} w = 1$ (el peso puede desvanecerse en el límite), bajo el mismo supuesto de "$\Omega$ es en forma de estrella con respecto a una bola de $B$".
También lo que escribió en su pregunta en realidad es bueno, con una ligera modificación, que es el promedio ponderado de Friedrichs, la' desigualdad (observe el siguiente es mucho más fuerte la versión de 40 votos escribió):
Para un funcionamiento suave $f$ tal que $\displaystyle \int_{\Omega} f w = 0$ con peso suave $w>0$$\Omega$, e $\displaystyle \int_{\Omega} w = 1$:
$$
\int_{\Omega}f^2 w \leq \int_{\Omega}f^2 \leq C\int_{\Omega} |\nabla f|^2w + (\text{Opcional } L^2\text {plazo}).\la etiqueta{$\star$}
$$
Un esbozo de la prueba: Por simplicidad, suponemos $\Omega$ es una bola de $B$ con radio 2 centrado en el origen, y podemos encontrar algunas de bolas $\hat{B}\subset \Omega$ de manera tal que dentro de $B$, con un resultado positivo de radio $\hat{r} \geq c r_B$ positivos $c$. Para $x\in \hat{B}$, y $y\in B$: $$|y-x|\leq C w. \tag{1}$$
Por qué? Creo que un mollifier con centro en el origen, y esta es una condición suficiente para el peso de satisfacer para que haya una Poincaré tipo de desigualdad. Deje $\phi$ ser un peso suave de fuga en el límite de $\hat{B}$, e $\bar{f} = \int_{B} f\phi$ de la media ponderada de $f$ de fuga fuera de esta pequeña bola a continuación: para cualquier $y\in B$
$$
f(y) - \bar{f} = \int_{B} \big(f(y) - f(z)\big)\phi(z)dx
\\
= \int_{B} \int^1_0 (y-z)\cdot \nabla f(y + t(z-y)) \phi(z) dt \,dz,
$$
lo que sigue a partir de la multi-dimensional de la fórmula de Taylor. Ahora, el truco es cambiar la escala de las variables: vamos a $x = y + t(z-y)$
$$
f(y) - \bar{f} = \int_{B} \int^1_0 \frac{y-x}{t}\cdot \nabla v(x) \phi\left(y + \frac{x-y}{t}\right) \frac{1}{t^2} dx\,ds.
$$
Ahora $\phi(y + \frac{x-y}{t})$ se desvanece al $0< t < \gamma|x-y|$ $\gamma$ confiar en $\hat{r}$, por lo tanto para el núcleo
$$
K := \int^1_0 \frac{y-x}{t^3} \phi\left(y + \frac{x-y}{t}\right) dt,
$$
tenemos
$$
|K| \leq \sup|\phi| \int^1_{\gamma|x-y|} \frac{|y-x|}{t^3} dt \leq C |y-x|^{-1}.
$$
Ahora uso la condición (1), $w^{1/2} \leq C |x-y|^{-1/2}$ dentro de la $\hat{B}$, e $K$ se desvanece fuera de $\hat{B}$ hemos
$$
|f(y) - \bar{f}| \leq \int_B |K| |\nabla f| \\
= \int_B |K|w^{-1/2} w^{1/2}|\nabla f|
\\
\leq C\int_B |y-x|^{-3/2} w^{1/2}|\nabla f|.
$$
Ahora los Jóvenes de la desigualdad de la convolución se lee:
$$
\|f \bar{f}\|_{L^2(B)} \leq \Big\| |x|^{-3/2}\Big\|_{L^1(B)} \Big\|w^{1/2}|\nabla f|\Big\|_{L^2(B)}.\la etiqueta{2}
$$
Para $|x|^{-3/2}$ $L^1$ al $B\subset \mathbb{R}^2$. Ahora si $\int_B fw = 0$, tenemos
$$
\bar{f}_{B} := \frac{1}{|B|}\int_B f \phi = \frac{1}{|B|}\int_B f(\phi-w) \leq \frac{1}{|B|} \|f\|_{L^2(B)} \left(\int_B (\phi-w)^2\right)^{1/2},
$$
y el facultativo $L^2$plazo en $(\star)$ está determinado por cómo podemos manipular el peso, de modo que $\|\bar{f}_{B} \|_{L^2(B)}$ puede ser absorbido por $ \|f\|_{L^2(B)}$, entonces tenemos:
$$
\|f\|_{L^2(B)}^2\leq \|f\bar{f}_{B}\|_{L^2(B)}^2 + \|\bar{f}_{B} \|^2_{L^2(B)}.
$$
Por (2) tenemos el resultado, para el dominio con un radio de no $O(1)$, una escala argumento estará en su lugar.
Tomé estas de algún viejo notas que escribí para mí, quizá hay muchos cabos sueltos. El $C$ $(\star)$ depende de cómo este suave peso $w$ "concentrados" en sí mismo con este dominio, si está muy concentrada en torno a algunos puntos, a continuación, $C$ $(\star)$ tiene que ser muy grande para el control de $\|f\|_{L^2(B)}$.
