¿Es intuitivo que la cantidad conservada por la simetría temporal sea lo que conocemos como energía?

Question

¿Existe una manera fácil (aka intuitiva) de entender que la cantidad conservada de la simetría de traslación del tiempo es justo lo que llamamos energía?

En otras palabras, utilizamos dos definiciones de energía. Una es con el teorema de Noethers, y me han dicho que es la fundamental. La otra es la que se aprende en la escuela y se menciona en los ejemplos de abajo. La cuestión es cómo conectar estas dos definiciones.

Ejemplos

• Puedo levantar pesas, así que tienen más energía.
• Puedo hervir el agua para el té, por lo que obtiene más energía.
• Puedo quemar $CaO$ con el carbono, por lo que obtengo el carburo, que tiene más energía.
• ..

Si defino la energía como cantidad conservada, ¿cómo llego a mis ejemplos..?

(Bueno, lo de "fácil/intuitivo" está en el ojo del que mira. No obstante, gracias).

Pregunta al margen: Tenemos la conservación de la energía en la termodinámica. Nunca he visto una formulación lagrangiana de la termodinámica. ¿Sólo puedo esperar una respuesta a mi pregunta principal en las teorías que tienen tal formulación?

Answer 1

Respuesta a su pregunta lateral:

La conservación de la energía se desprende efectivamente de las propiedades de simetría del lagrangiano. La primera ley de la termodinámica es algo más que la conservación de la energía. Dice que aunque el cambio de calor $\delta Q$ en el sistema y el trabajo realizado $\delta W$ en ella son diferenciales inexactos, su suma $dU$ es una diferencial exacta. Es decir, aunque el cambio de calor total y el trabajo realizado dependen del camino que tome una transformación termodinámica, su suma es la misma para todos los caminos. Su suma $U$ es por tanto una función de estado, llamada energía interna del sistema.

La primera ley de la termodinámica garantiza la existencia de una función de energía interna.

Answer 2

Tus ejemplos implican un agente externo que produce entropía para hacer trabajo. cuando pones calor en el agua, estás moviendo la energía de un estado donde es baja la entropía (como en los enlaces químicos del petróleo) a un estado donde es alta la entropía (agua caliente). Esta es una cuestión distinta de la conservación de la energía y del teorema de Noether. Es la termodinámica.

Pero dado un lagrangiano que es invariante de la traslación en el tiempo

$$ S = \int_0^T L(q,\dot{q}) dt $$

Si se desplaza la trayectoria en el tiempo infinitesimalmente en $\epsilon$ se obtiene una acción que es la misma, pero los puntos finales se traducen. La variación de la acción es

$$ \delta S = - \epsilon( H(T)-H(0) ) = - \epsilon (p\dot{q} - L)|_0^T $$

Esto se puede ver al hacer la variación. El término L viene de mover los puntos finales, el $p\dot{q}$ proviene de la variación de L dentro de la integral: el cambio en q en cualquier momento t es $\epsilon \dot{q}$ mientras que el cambio en $\dot{q}$ es $\epsilon \ddot{q}$ . Así que el cambio en la acción es

$$ \delta S = \epsilon \int {\partial L \over \partial q} \dot{q} - {\partial L \over \partial \dot{q}} \ddot q = - \epsilon \int {d\over dt} (p \dot q) $$

La invariancia de traslación temporal te dice que H se conserva.

Answer 3

Falko, si entiendo bien tu pregunta, sería la siguiente: cómo es que conseguir que una parte de esa cantidad particular conservada (llamada "energía") se transfiera a un sistema (mecánico, químico, etc.) puede tener consecuencias tan dramáticas como una transición de fase (agua hirviendo) o la creación y ruptura de enlaces químicos.

Intuitivamente hablando: ¿cómo puede darse cuenta de que es exactamente la corriente de Noether asociada a la invariancia de traslación del tiempo, la única cantidad necesaria para hervir el agua?

Yo trataría de atacar el problema señalando que se trata de tu partición (arbitraria) del sistema considerado, y de si aplicas la simetría (es decir, la ley de conservación) a todo el sistema o a una parte de él arbitrariamente singularizada. Tomemos como ejemplo la ebullición del agua para el té durante el vuelo de un avión.

Mientras consideres toda la cocina en el avión, con el calentador y sus baterías, es invariante de traslación temporal, la corriente de Noether de "energía" se conserva y no pasa nada (Aquí consideramos toda la cocina/avión como un sistema A). Si definimos el agua en la caldera como un sistema B en sí mismo, entonces se rompe la invariancia de traslación temporal para B una vez que se quiere obtener una tetera (y se cambia el botón en un momento dado, ¡por lo que el hamiltoniano de B se vuelve dependiente del tiempo!) Esto transfiere parte de la corriente conservada de Noether (energía) entre la pila y tu caldera y efectivamente hierve tu agua.

Ahora consideremos como sistema C un segundo avión que vuela en la línea de visión de su avión A. El piloto de C puede ver el avión A pero no es consciente de que usted ha dejado su asiento y ha puesto una taza de té, ni ve ningún destello o aura que rodee a A como resultado de que usted haya hecho esto. Para el piloto de C, el sistema A es invariante en la traslación del tiempo y su energía se conserva. El teorema de Noether corrobora así sus propias observaciones empíricas.

En resumen: la ruptura o no de las simetrías de un sistema (y de la transferencia de la corriente conservada asociada) depende en gran medida de la precisión con la que se delimite o circunscriba (dentro de una membrana separadora ficticia) el sistema considerado. Esto es muy parecido al método de la Termodinámica.

Answer 4

No estoy seguro de que esto responda a tu pregunta, pero pensé en intentarlo de todos modos.

Supongo que estás familiarizado con el Teorema de Noether: Si existe una simetría del sistema mecánico que deja las propiedades mecánicas sin cambios, entonces el Teorema de Noether dice que también existe una cantidad conservada de cualquier sistema de este tipo.

Bien, ¡vamos a ver un ejemplo! (También voy a suponer que has conocido la mecánica langrangiana y hamiltoniana). Consideremos el Hamiltoniano de un sistema de N-partículas, todas interactuando:

$H = \sum_{i=1}^N \frac {1} {2m_i}p_i^2 + U(q_1,...,q_N)$ .

Aquí $t$ no aparece explícitamente en $H$

$H = H(q_i,p_i) \Longrightarrow H(t+\Delta t) = H(t)$

Así que ahora la traducción del tiempo $t+\Delta t$ está relacionada con una cantidad conservadora, que es $H$ . Para comprobar si la cantidad se conserva tomamos la derivada temporal de $H$ :

$\frac {dH} {dt} = \frac {\partial H} {\partial q_i}\dot{q_i} + \frac {\partial H} {\partial p_i}\dot{p_i} + \frac {\partial H} {\partial t}$ .

Dado que no existe una dependencia explícita de $t$ , $\frac {\partial H} {\partial t}=0$ . Así que nos quedamos con:

$\frac {dH} {dt} = \frac {\partial H} {\partial q_i}\frac {\partial H} {\partial p_i} - \frac {\partial H} {\partial p_i}\frac {\partial H} {\partial q_i}$ $=0$

El hamiltoniano es la cantidad conservada asociada a la traslación temporal por lo que podemos decir que la conservación de la energía y la invariancia del sistema bajo la traslación temporal están ligadas. Espero que esto ayude.